b: Xét ΔADM vuông tại D có DH là đường cao ứng với cạnh huyền AM

nên \(AH\cdot AM=AD^2\left(1\right)\)

Xét ΔADB vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền DB

nên \(DH\cdot DB=AD^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(DH\cdot DB=AH\cdot AM\)

a: ΔABD vuông tại A

=>\(BD^2=AB^2+AD^2\)

=>\(BD^2=9^2+12^2=225\)

=>BD=15(cm)

Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BD=AB\cdot AD\)

=>\(AH\cdot15=12\cdot9=108\)

=>AH=108/15=7,2(cm)

XétΔABD vuông tại A có \(sinBDA=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{BDA}\simeq37^0\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HD\cdot HB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AI\cdot AB=HD\cdot HB\)

c: Xét ΔHDN vuông tại H và ΔHMB vuông tại H có

\(\widehat{HDN}=\widehat{HMB}\left(=90^0-\widehat{DBC}\right)\)

Do đó: ΔHDN đồng dạng với ΔHMB

=>HD/HM=HN/HB

=>\(HM\cdot HN=HD\cdot HB=HA^2\)

hình bạn tự vẽ nha

áp dụng định lý py ta go vào tam giác ABD ta có AD^2 + AB^2 =64 (1)

áp dụng định lý pytago vào tam giác ABH ta có AB^2 = AH^2+ 36  (2)

áp dụng định lý pytago vào tam giác AHD ta có AD^2= AH^2 +4     (3)

thay (2)và (3) vào (1)

ta có 2AH^2 =24

=> AH^2 =12

thay AH^2=12 lần lượt vào 2 và 3

=> AB^2=12+36=48=>AB=\(\sqrt{48}\)

     AD^2=12+4=16 => AD=4

TA CÓ BH + HC = BC

=> BC = 9+16=25

THEO ĐỊNH LÝ PITAGO XÉT \(\Delta ABC\)VUÔNG TẠI A CÓ

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(AB^2=BC^2-AC^2\)

\(AB^2=25^2-5^2\)

......

AH TƯƠNG TỰ

Áp dụng định lý pitago: \(AC=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15\left(cm\right)\)

Xét tam giác HBA và tam giác ABC, có:

\(\widehat{BHA}=\widehat{ABC}=90^o\)

\(\widehat{A}\): chung

Vậy tam giác HAB đồng dạng tam giác BAC ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HB}{BC}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2}{AC}=\dfrac{12^2}{15}=9,6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HB=\dfrac{AB.BC}{AC}=\dfrac{12.9}{15}=7,2\left(cm\right)\)

\(S_{AHB}=\dfrac{1}{2}.AH.HB=\dfrac{1}{2}.9,6.7,2=34,56\left(cm^2\right)\)

a,

Xét Δ HBA và Δ BAC, có :

\(\widehat{BHA}=\widehat{ABC}=90^o\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAB}\) (cùng phụ \(\widehat{ABC}\))

=> Δ HBA ~ Δ BAC (g.g)

b,

Xét Δ ABC vuông tại B, có :

\(AC^2=AB^2+BC^2\) (Py - ta - go)

=> \(AC^2=12^2+9^2\)

=> AC = 15 (cm)

Ta có : Δ HBA ~ Δ BAC (cmt)

=> \(\dfrac{HA}{BC}=\dfrac{BA}{AC}\)

=> \(\dfrac{HA}{9}=\dfrac{12}{15}\)

=> HA = 7,2 (cm)

c,

Xét Δ AHD vuông tại H, có :

\(AD^2=AH^2+DH^2\) (Py - ta - go)

=> \(9^2=7,2^2+DH^2\)

=> DH = 5,4 (cm)

Ta có : BD = BH + DH

=> 15 = BH + 5,4

=> BH = 9,6 (cm)

Ta có :

\(S_{\text{Δ}AHB}=\dfrac{1}{2}.AH.HB\)

=> \(S_{\text{Δ}AHB}=34,56\left(cm^2\right)\)