Đặt A = 2 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰

         = ( 2 + 2² + 2³ ) + ( 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ ) + ... + ( 2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰ )

         = 2(1+2+2²) + 2⁴(1+2+2²) + ... + 2²⁰⁰⁸(1+2+2²)

         = 7(2+2⁴+...+2²⁰⁰⁸) chia hết cho 7

a) Ta có: (n² + n - 1)² - 1

= ( n² + n - 1 + 1)(n² + n - 1 - 1)

= (n² + n)(n² + n - 2)

= n(n + 1)(n² + 2n - n - 2)

= n(n+ 1)[n(n + 2) - (n + 2)]

= n(n + 1)(n - 1)(n + 2)

Do n(n + 1)(n - 1)(n + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp 

nên 1 thừa số chia hết cho 2

        1 thừa số chia hết cho 3

          1 thừa số chia hết cho 4

mà (2, 3, 4) = 1

=> n(n + 1)(n - 1)(n + 2) \(⋮\)2.3.4 = 24

=> (n² + n - 1)² - 1 \(⋮\)24 \(\forall\)n \(\in\)Z

b) Do n chẵn => n có dạng 2k (k \(\in\)Z)

Khi đó, ta có: n³ + 6n² + 8n

= (2k)³ + 6.(2k)² + 8.2k

= 8k³ + 24k² + 16k

= 8k(k² + 3k + 2)

= 8k(k² + 2k + k + 2)

= 8k[k(k + 2) + (k + 2)]

= 8k(k + 1)(k + 2)

Do k(k + 1)(k + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

nên 1 thừa số chia hết cho 2

   1 thừa số chia hết cho 3

=> k(k + 1)(k + 2) \(⋮\)2.3 = 6

=> 8k(k + 1)(k + 2) \(⋮\)8.6 = 48

Vậy n³ + 6n² + 8n \(⋮\)48 \(\forall\)n là số chẵn

Câu b, chuyển 3^2010 thành 2^2010 nhé!

Minh lam cau A) thoi duoc hong

Thực ra thì mấy câu này cx tương tự như nhau nên mk chỉ lm 1 câu, còn lại b tự lm tiếp nhé!

a/ \(A=2+2^2+2^3+.........+2^{2010}\)

\(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+.......+\left(2^{2009}+2^{2010}\right)\)

\(=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+.......+2^{2009}\left(1+2\right)\)

\(=2.3+2^3.3+.......+2^{2009}.3\)

\(=3\left(2+2^3+.......+2^{2009}\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

\(A=2+2^2+2^3+........+2^{2010}\)

\(=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+......+\left(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+......+2^{2008}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=2.7+2^4.7+........+2^{2008}.7\)

\(=7\left(2+2^4+.......+2^{2008}\right)⋮7\left(đpcm\right)\)

a/

a)2¹+2²+2³+...+2²⁰¹⁰

=(2¹+2²)+(2³+2⁴)+...+(2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰)

=(2.1+2.2)+(2³.1+2³.2)+...+(2²⁰⁰⁹.1+2²⁰⁰⁹.2)

=2(1+2)+2³(1+2)+...+2²⁰⁰⁹(1+2)

=2.3+2³.3+...+2²⁰⁰⁹.3

=3(2+2³+...+2²⁰⁰⁹) chia hết cho 3

b)2^1+2^2+2^3+.......+2^2010

=(2^1+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6)+......+(2^2008+2^2009+2^2010)

=(2.1+2.2+2.2^2)+(2^4.1+2^4.2+2^4.2^2)+.....+(2^2008.1+2^2008.2+2^2008.2^2)

=2(1+2+4)+2^4(1+2+4)+....+2^2008(1+2+4)

=2.7+2^4.7+........+2^2008.7

=7(2+2^4+.........+2^2008) chia hết cho 7

c)từ câu a) và b) => A chia cho cả 3 và 7

Bài 2:

1: \(2A=2+2^2+...+2^{2011}\)

=>\(A=2^{2011}-1>B\)

2: \(A=\left(2010-1\right)\left(2010+1\right)=2010^2-1< B\)

3: \(A=1000^{10}\)

\(B=2^{100}=1024^{10}\)

mà 1000<1024

nên A<B

5: \(A=3^{450}=27^{150}\)

\(B=5^{300}=25^{150}\)

mà 27>25

nên A>B

xl mink gần ra oy