\(55^{n+1}-55^n=55^n.55^1-55^n=55^n.55-55^n=55^n.\left(55-1\right)\)

\(=55^n.54\left(đpcm\right)\)

\(55^n.54\)chia hết cho 54

à bạn coi cái đề lại giùm mk nha hình như là \(\left(55^{n+1}-55^n\right)\)

\(Q=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\)

\(Q=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8\)

\(Q=3n^3+9n^2+15n+9\)

\(Q=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}9\left(n^2+1\right)⋮9\\3n⋮3\\n^2+5⋮3\end{matrix}\right.\left(\forall n\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow Q=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)⋮9,\forall n\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Câu 1:

Ta có: \(55^{n+1}+55^n\)

\(=55^n\left(55+1\right)=55^n\cdot56⋮56\)(đpcm)

Câu 2:

Ta có: \(5^6-10^4=\left(5^3-10^2\right)\left(5^3+10^2\right)\)

\(=\left(5^2\cdot5-5^2\cdot2^2\right)\cdot\left(5^2\cdot5+5^2\cdot2^2\right)\)

\(=5^2\cdot\left(5-2^2\right)\cdot5^2\cdot\left(5+2^2\right)\)

\(=5^4\cdot9=5^3\cdot45⋮45\)(đpcm)

Theo ( 1 ), tính theo mod p, ta có 

\(-1\equiv\left(p-1\right)!\equiv\left(n-1\right)!n\left(n+1\right)...\left(p-1\right)\)

\(\equiv\left(n-1\right)!\left(p-\left(n-p\right)\right)\left(p-\left(p-n-1\right)\right)...\left(p-1\right)\)

\(\equiv\left(n-1\right)!\left(-1\right)^{p-n}\left(p-n\right)\left(p-n-1\right)\) )...1

\(\equiv\left(n-1\right)!\left(-1\right)^{p-n}\left(p-n\right)!\)

\(\equiv\left(n-1\right)!\left(-1\right)^{n-1}\left(p-n\right)!\) ( vì p lẻ )

Cbht

\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}=\frac{n+a}{n.\left(n+a\right)}-\frac{n}{n.\left(n+a\right)}=\frac{a}{n.\left(n+a\right)}\) 

\(\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!! 

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ... + n(n + 1)(n + 2)

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + ... + n(n + 1)(n + 2).4

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5.(6 - 2)+ ... + n(n + 1)(n + 2)[(n + 3) - (n - 1)]

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n-1)n(n+1)(n+2)

4A = n(n+1)(n+2)(n+3)

A = n(n + 1)(n+2)(n + 3) : 4

Với n = 1 thì \(x^1\ge2.x^0=0\)

Giả sử đẳng thức đúng với n = k nghĩa là : \(x^k\ge\left(k+1\right).x^{k-1}\).

Ta phải chứng minh :

\(x^n\ge\left(n+1\right).x^{n-1}\)đúng với n = k + 1. Ta phải chứng minh \(x^{k+1}\ge\left[\left(k+1\right)+1\right].x^{\left(k-1\right)+1}=\left(k+2\right).x^k\)

\(=\left(x^k.k+2x^k+1\right)-1=\left(x^k+1\right)^2-1\le x^{k+1}\)

Vậy đẳng thức luôn đúng với mọi \(n\inℕ^∗\)