Cho \(x+y+z=xyz\) và \(xy+yz+zx\ne-3\) 

Chứng minh: \(\dfrac{x.\left(y^2+z^2\right)+y.\left(z^2+x^2\right)+z.\left(x^2+y^2\right)}{xy+yz+zx-3}=xyz\)

Chứng minh rằng:\(x^2+y^2+z^2-xy+yz+zx=\frac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{2}\) và \(x^2+y^2+z^2-xy+yz+zx=0\) khi nào?

Cho x + y + z khác 0 ; x = y + z . Chứng minh rằng : 
\(\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}{x^2+y^2+z^2}:\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=yz\)

Cho \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xy+yz+zx=1\end{cases}}\). Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge3+\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x^2}}+\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}{y^2}}+\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{z^2}}\)

Cho x+y+z=1.Chứng minh GTBT sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
P=\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy+z}\).\(\dfrac{\left(y+z\right)^2}{yz+x}\).\(\dfrac{\left(x+z\right)^2}{zx+y}\)\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy+z}\)

Phân tích đa thức thành nhân tử:
Chứng minh rằng: x² + y² + z² - xy - yz - zx = \(\dfrac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{2}\) và x² + y² + z² - xy - yz - zx = 0 khi nào.

Cho x,y,z là các số thực dương. chứng minh rằng: 

\(\dfrac{xy^2\left(x+z\right)}{x+y}+\dfrac{yz^2\left(z+x\right)}{y+z}+\dfrac{zx^2\left(x+y\right)}{z+x}\ge3xyz\)

Chứng minh rằng \(\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)>9\left(xy+yz+zx\right)\)

Biết rằng \(xyz>0\)