a: Khi x=-1 thì B=2*(-1)^2+1+1=4

b: Để A chia hết cho B thì 

\(2x^3-x^2+x+6x^2-3x+3+a-3⋮2x^2-x+1\)

=>a-3=0

=>a=3

c: Để B=1 thì 2x^2-x=0

=>x=0 hoặc x=1/2

Lời giải:
a. $f(x)=x^4-3x^2+2x-7=x^3(x+2)-2x^2(x+2)+x(x+2)-7$

$=(x+2)(x^3-2x^2+x)-7=g(x)(x^3-2x^2+x)-7$

Vậy $f(x)$ chia $g(x)$ được thương là $x^3-2x^2+x$ và dư là $-7$

b. Theo phần a $f(x)=(x^3-2x^2+x)g(x)-7$

Với $x$ nguyên, để $f(x)\vdots g(x)$ thì $7\vdots g(x)$

$\Leftrightarrow x+2$ là ước của $7$

$\Rightarrow x+2\in\left\{\pm 1;\pm 7\right\}$

$\Leftrightarrow x\in\left\{-3; -1; 5; -9\right\}$

c.

Theo định lý Bezout về phép chia đa thức, để $K(x)=-2x^3+x-m\vdots x+2$ thì: $K(-2)=0$

$\Leftrightarrow -2(-2)^3+(-2)-m=0$

$\Leftrightarrow 14-m=0$

$\Leftrightarrow m=14$

Lời giải:

Ta thấy: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Do đó để $f(x)$ chia hết cho $g(x)$ thì $f(x)\vdots x-1$ và $f(x)\vdots x-2$

Tức là $f(1)=f(2)=0$ (theo định lý Bê-du)

$\Leftrightarrow 3-2+(a-1)+3+b=3.2^4-2.2^3+(a-1).2^2+3.2+b=0$

$\Leftrightarrow a+b=-3$ và $4a+b=-34$

$\Rightarrow a=\frac{-31}{3}$ và $b=\frac{22}{3}$

Ta có: \(P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^3-7x^2+5x+1⋮2x-1\)

\(\Leftrightarrow2x^3-x^2-6x^2+3x+2x-1+2⋮2x-1\)

\(\Leftrightarrow2⋮2x-1\)

\(\Leftrightarrow2x-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

\(\Leftrightarrow2x\in\left\{2;0;3;-1\right\}\)

hay \(x\in\left\{1;0;\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\right\}\)

A(x) chia hết cho B(x) khi (a – 3)x + b + 5 là đa thức 0

⇒ a – 3 = 0 hoặc b + 5 = 0 ⇒ a = 3 hoặc b = -5