Bài 1:

Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)

\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)

\(=6n⋮6\)

1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)

2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)

1+2+3+4+5+6+7+8+9=133456 hi hi

đào xuân anh sao mày gi sai hả

???????????????????
 

Bài 1:

$A=(n-1)(2n-3)-2n(n-3)-4n$

$=2n^2-5n+3-(2n^2-6n)-4n$

$=-3n+3=3(1-n)$ chia hết cho $3$ với mọi số nguyên $n$

Ta có đpcm.

Bài 2:
$B=(n+2)(2n-3)+n(2n-3)+n(n+10)$

$=(2n-3)(n+2+n)+n(n+10)$

$=(2n-3)(2n+2)+n(n+10)=4n^2-2n-6+n^2+10n$

$=5n^2+8n-6=5n(n+3)-7(n+3)+15$

$=(n+3)(5n-7)+15$

Để $B\vdots n+3$ thì $(n+3)(5n-7)+15\vdots n+3$

$\Leftrightarrow 15\vdots n+3$
$\Leftrightarrow n+3\in\left\{\pm 1;\pm 3;\pm 5;\pm 15\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{-2;-4;0;-6;-8; 2;12;-18\right\}$

Từ đề bài ta có A= 3ⁿ⁺¹ (3² + 1) + 2ⁿ⁺¹ (2 +1) = 3ⁿ .3.2.5 + 2ⁿ .2.3

=> ĐPCM;

A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6

Ta có:

\(\left(2n-1\right)^3-\left(2n-1\right)\)

\(=\left(2n-1\right)\left[\left(2n-1\right)^2-1\right]\)

\(=\left(2n-1\right)\left(2n-1+1\right)\left(2n-1-1\right)\)

\(=\left(2n-1\right).2n.\left(2n-2\right)\)

\(=4n\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\)

Vì \(4n\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\) chia hết cho 4 ( Do chứa thừa số 4 )

Đồng thời \(4n\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\) chia hết cho 2 ( Do n(n-1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow4n\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\) chia hết cho 8

(2n-1)^3-(2n-1)

=(2n-1)((2n-1)²-1)

=(2n-1)(2n-1+1)(2n-1-1)

=2n(2n-1)(2n-2)

=4n(2n-1)(n-1)

=> 4n(2n-1)(n-1) chia hết cho 4 (1)

mà (2n-1)(n-1)=(n+n-1)(n-1)

=> (2n1)(n-1) chia hết cho 2 (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra (2n-1)^3 - (2n-1) chia hết cho 8

\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=2n^2-3n-2n^2-2n=-5n\)

mà \(-5n⋮5\left(n\in Z\right)\)

⇒đpcm

\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=\)

\(=2n^2-3n-2n^2-2n=-5n⋮5\)