Ta có: x2 – 2x + 1 = 6y2 -2x + 2

=> x2 – 1 = 6y2 => 6y2 = (x-1).(x+1) chia hết cho 2 , do   6y2 chia hết cho 2 

Mặt khác x-1 + x +1 = 2x chia hết cho 2 =>   (x-1) và (x+1) cùng  chẵn hoặc cùng lẻ.

Vậy (x-1) và (x+1) cùng  chẵn  => (x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp

 (x-1).(x+1) chia hết cho 8 => 6y2 chia hết cho 8  =>  3y2 chia hết cho 4  => y2 chia hết cho 4  => y chia hết cho 2 

  y  =  2  ( y là số nguyên tố) , tìm được x = 5. 

Chúc học tốt!

1. không đáp án đúng

2.\(\dfrac{1}{y-x}\sqrt{2x^2\left(x-y\right)^2}=\dfrac{-1}{x-y}x\left(x-y\right)\sqrt{2}\left(vì>y>0\right)=-x\sqrt{2}\)

Lời giải:
a. $y=mx-x^2-2x+mx^2+m=x^2(m-1)+x(m-2)+m$

Lấy $x_1,x_2\in R$ sao cho $x_1\neq x_2$

$y(x_1)=x_1^2(m-1)+x_1(m-2)+m$

$y(x_2)=x_2^2(m-1)+x_2(m-2)+m$
Để hàm đồng biến thì:

$\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{x_1^2(m-1)+x_1(m-2)+m-[x_2^2(m-1)+x_2(m-2)+m]}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{(m-1)(x_1^2-x_2^2)+(m-2)(x_1-x_2)}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow (m-1)(x_1+x_2)+(m-2)>0$ 

Với mọi $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ thì không có cơ sở để tìm $m$ sao cho hàm đồng biến.

b.

Xét tương tự câu 1, với $x_1\neq x_2\in \mathbb{R}$ thì hàm đồng biến khi:

$(m^2-3m+2)(x_1+x_2)+(m-1)>0$

Với mọi $x_1, x_2\in\mathbb{R}$ thì điều này xảy ra khi:

$m^2-3m+2=0$ và $m-1>0$

$\Leftrightarrow (m-1)(m-2)=0$ và $m-1>0$

$\Leftrightarrow m=2$

Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(x^2-\left(m-2\right)x-3=0\)

\(\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(-3\right)=\left(m-2\right)^2+12>0\)

Vậy (P) cắt (d) tại 2 điểm pb 

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\left(1\right)\\x_1x_2=-3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Vì \(x_1x_2=-3< 0\)nên pt có 2 nghiệm trái dấu 

đk : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1< 0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(-x_1=3x_2\Leftrightarrow x_1+3x_2=0\)(3) 

Từ (1) ; (3) \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1+3x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_2=-\left(m-2\right)\\x_1=m-2-x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{-\left(m-2\right)}{2}\\x_1=\dfrac{2m-4+m-2}{2}=\dfrac{3m-6}{2}\end{matrix}\right.\)

Thay vào (2) ta được \(\dfrac{-3\left(m-2\right)^2}{4}=-3\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=0\end{matrix}\right.\)

PTHĐGĐ là:

x^2-(m-2)x-3=0

a*c<0

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm pb

Theo đề, ta có: 3x2=-x1 và x1+x2=m-2

=>x1+3x2=0 và x1+x2=m-2

=>2x2=-m+2 và 3x2=-x1

=>x2=-1/2m+1 và x1=-3x2=3/2m-3

x1x2=-3

=>-1/2(m-2)*3/2(m-2)=-3

=>3/4(m-2)^2=3

=>(m-2)^2=4

=>m=4 hoặc m=0

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-2mx-(2m+1)=0(*)$

Để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

$\Leftrightarrow \Delta'=m^2+2m+1>0\Leftrightarrow (m+1)^2>0$

$\Leftrightarrow m\neq -1$
Áp dụng định lý Viet: $x_1+x_2=2m; x_1x_2=-(2m+1)$

Khi đó:

$\sqrt{x_1+x_2}+\sqrt{3+x_1x_2}=2m+1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2m}+\sqrt{3-2m-1}=2m+1$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq m< 1\\ \sqrt{2m}+\sqrt{2(1-m)}=2m+1\end{matrix}\right.\)

Bình phương 2 vế dễ dàng giải ra $m=\frac{1}{2}$ (thỏa)