a: UCLN(3n+1;3n+10)=9

Lời giải:

a. Gọi d là ƯCLN của $3n+1, 3n+10$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3n+1\vdots d\\ 3n+10\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (3n+10)-(3n+1)\vdots d\)

\(\Rightarrow 9\vdots d\)

\(\Rightarrow d=\left\{1;3;9\right\}\)

Mà $3n+1\vdots d$ nên $d$ không thể là $3,9$

$\Rightarrow d=1$

Vậy ƯCLN $(3n+1,3n+10)=1$

b.

Gọi $d$ là ƯCLN $(2n+1,n+3)$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n+1\vdots d\\ n+3\vdots d\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} 2n+1\vdots d\\ 2n+6\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (2n+6)-(2n+1)\vdots d\Rightarrow 5\vdots d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;5\right\}\)
 

2/

a/

Gọi số cần tìm là \(\overline{bb}\)

Theo đề bài \(\overline{bb}⋮2\) => b chẵn

\(\overline{bb}:5\) dư 2 => b={2;7}

Do b chẵn => b=2

Số cần tìm \(\overline{bb}=22\)

b/

Gọi số cần tìm là \(\overline{bbb}\)

Theo đề bài \(\overline{bb}:2\)  dư 1 => b lẻ

\(\overline{bbb}⋮5\)  => b={0;5}

Do b lẻ => b=5

Số cần tìm \(\overline{bbb}=555\)

c/

Gọi số cần tìm là \(\overline{bb}\)

Theo đề bài \(\overline{bb}:5\) dư 1 => b={1;6}

\(\overline{bb}⋮3\Rightarrow b+b=2b⋮3\Rightarrow b⋮3\)

=> b=6

Số cần tìm là \(\overline{bb}=66\)

1/

a/

\(\dfrac{3n+1}{n-1}=\dfrac{3\left(n-1\right)+4}{n-1}=3+\dfrac{4}{n-1}\)

\(\left(3n+1\right)⋮\left(n-1\right)\) khi \(4⋮\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\Rightarrow n=\left\{-3;-1;0;2;3;5\right\}\)

b/

\(\left(n-3\right)⋮\left(2n-1\right)\Rightarrow2\left(n-3\right)⋮\left(2n-1\right)\)

\(\dfrac{2\left(n-3\right)}{2n-1}=\dfrac{2n-6}{2n-1}=\dfrac{\left(2n-1\right)-5}{2n-1}=1-\dfrac{5}{2n-1}\)

\(2\left(n-3\right)⋮\left(2n-1\right)\) khi \(5⋮\left(2n-1\right)\Rightarrow\left(2n-1\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-2;0;1;3\right\}\)

Ta có : 3x + 2 chia hết cho n - 1

=> 3x - 3 + 5 chia hết cho n - 1

=> 3(n - 1) + 5 chia hết cho n - 1

=> 5 chia hết cho n - 1

=> n - 1 thuộc Ư(5) = {1;5} 

=> n = {2;6}

a) 3n+2 \(⋮\) n-1 <=> 3(n-1)+5 \(⋮\) n-1

=> 5 \(⋮\) n-1 (vì 3(n-1) \(⋮\) n-1)

=> n-1 ∈ Ư(5) = {1; 5}

n-1 = 1 => n = 2

n-1 = 5 => n = 6

Vậy n ∈ {2; 6}

b)

Vì \(ƯCLN\left(a,b\right)=3\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3.m\\b=3.n\end{cases};\left(m,n\right)=1;m,n\in N}\)

Thay a = 3.m, b = 3.n vào a.b = 891, ta có:

3.m.3.n = 891

=> (3.3).(m.n) = 891

=> 9.(m.n) = 891

=> m.n = 891 : 9

=> m.n = 99

Vì m và n nguyên tố cùng nhau

=> Ta có bảng giá trị:

Vậy các cặp (a,b) cần tìm là:

(3; 297); (297; 3); (27; 33); (33; 27).