1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

b: Thay \(x=7-2\sqrt{6}\) vào A, ta được:

\(A=\dfrac{3\cdot\left(\sqrt{6}-1\right)}{-7+2\sqrt{6}-5\left(\sqrt{6}+1\right)-1}\)

\(=\dfrac{3\cdot\left(\sqrt{6}-1\right)}{-8+2\sqrt{6}-5\sqrt{6}-5}\)

\(=\dfrac{-3\sqrt{6}+3}{13+3\sqrt{6}}=\dfrac{93-48\sqrt{6}}{115}\)

Cau 1: Ta có: 
A=x^2 - 2*3x + 9 +2(y^2 - 2y +1) + 7 
=(x-3)^2 +2(y-1)^2 +7 >+ 7 
=> minA= 7 <=> x=3 và y=1

câu 1 đâu có y

Trước hết ta chứng minh bổ đề: \(|a|+|b|\ge|a+b|.\left(1\right)\)

CM: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(|a|+|b|\right)^2\ge\left(|a+b\right)^2\)

                  \(\Leftrightarrow a^2+b^2+2|ab|\ge a^2+b^2+2ab\)

                  \(\Leftrightarrow2|ab|\ge2ab\)

                  \(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\)(điều này đúng do tính chất của giá trị tuyệt đối).

Vậy ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow ab\ge0.\)

a) A = \(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|=\left|x-1\right|+\left|3-x\right|+\left|x-2\right|.\)

Ta thấy rằng \(\left|x-2\right|\ge0\)với mọi x.

Áp dụng bổ đề trên ta có:

\(A\ge\left|x-1+3-x\right|+0=\left|2\right|+0=2+0=2.\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(3-x\right)\ge0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1\le x\le3\\x=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=2.\)

Vậy GTNN của A bằng 2 khi x = 2.

b) Áp dụng bổ đề trên ta có:\(B=\left|x-4\right|+\left|7-x\right|+\left|x-5\right|+\left|6-x\right|\ge\left|x-4+7-x\right|+\left|x-5+6-x\right|=\left|3\right|+\left|1\right|=3+1=4.\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-4\right)\left(7-x\right)\ge0\\\left(x-5\right)\left(6-x\right)\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4\le x\le7\\5\le x\le6\end{cases}\Leftrightarrow}5\le x\le6}\)(vì với mọi x nằm giữa 5 và 6 thì cũng nằm giữa 4 và 7).

Vậy GTNN của B bằng 4 khi \(5\le x\le6.\)

a;\(A=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\)

\(\Rightarrow A=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\)

Ta có +) \(\left|x+1\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x+1+3-x\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3-x\right)\ge0\Leftrightarrow1\le x\le3\)

+)\(\left|x-2\right|\ge0\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

\(\Rightarrow A=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\ge2\)

\(\Rightarrow A_{min}=2\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1\le x\le3\\x=2\end{cases}\Leftrightarrow x=2}\)

b;\(B=\left|x-4\right|+\left|x-5\right|+\left|x-6\right|+\left|x-7\right|\)

\(\Rightarrow B=\left|x-4\right|+\left|x-5\right|+\left|6-x\right|+\left|7-x\right|\)

Ta có +) \(\left|x-4\right|+\left|7-x\right|\ge\left|x-4+7-x\right|=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(7-x\right)\ge0\Leftrightarrow4\le x\le7\)

+) \(\left|x-5\right|+\left|6-x\right|\ge\left|x-5+6-x\right|=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(6-x\right)\ge0\Leftrightarrow5\le x\le6\)

\(\Rightarrow B=\left|x-4\right|+\left|x-5\right|+\left|x-6\right|+\left|x-7\right|\ge4\)

\(\Rightarrow B_{min}=4\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4\le x\le7\\5\le x\le6\end{cases}\Leftrightarrow5\le x\le6}\)

a) A = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

A= [(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)]

A=(x^2 + 5x - 6)(x^2 + 5x + 6) ( cái này mik làm tắt)

A = (x^2+5x)^2 - 6^2

A= (x^2+5x)^2 - 36

...

a, GTNN của A là 0 vì nếu x>0 thì GTNN của x là 1 mà trong A có (x-1) có thể bằng (1-1) = 0 mà 0 nhân với bất kì số nào cũng bằng 0

\(A=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

\(=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)\)(1)

Đặt \(x^2+5x=a\)

\(\left(1\right)=\left(a-6\right)\left(a+6\right)=a^2-36\le-36\)

Vậy \(A_{min}=-36\Leftrightarrow x^2+5x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)