\(7P^4-3P^2-P-3P^3=0\)

\(\Leftrightarrow7P^4+4P^3+P^2-7P^3-4P^2-P=0\)

\(\Leftrightarrow P^2\left(7P^2+4P+1\right)-P\left(7P^2+4P+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(P^2-P\right)\left(7P^2+4P+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow P\left(P-1\right)\left(7P^2+4P+1\right)=0\)

Xét : \(7P^2+4P+1=7\left(x+\frac{2}{7}\right)^2+\frac{3}{7}>0\)

\(\Rightarrow P=0;P=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

a: p>q

nên 3p>3q

=>3p+1>3q+1

c: p>q

nên -7p<-7q

=>-7p+4<-7q

. Ta có: P(1)= 0, P(3)= 0, P(5)= 0 => 1,3,5 là nghiệm của pt, nên P(x) chứa nhân tử: (x-1) ; (x-3) ; (x-5)

. Vì P(x) bậc 4, có hệ số bậc cao nhất là 1 nên P(x) có dạng: \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-a\right)\) 

. \(Q=P\left(-2\right)+7P\left(-6\right)\) = \(\left(-2-1\right)\left(-2-3\right)\left(-2-5\right)\left(-2-a\right)+7\left(6-1\right)\left(6-3\right)\left(6-5\right)\left(6-a\right)\)  

\(=210+105a+630-105a\) \(=840\) 

. Vậy \(Q=840\)

. Bài này có thiếu gì k bạn?

ko thiếu đề đâu bạn ạ

\(P\left(x\right)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\)

Theo đề ta có:

\(\hept{\begin{cases}1+a+b+c+d=0\\81+27a+9b+3c+d=0\\625+125a+25b+5c+d=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c+d=-1\\27a+9b+3c+d=-81\\125a+25b+5c+d=-625\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-9\\b=23\\c=-15;\end{cases}d=-1}}\)

ta có : 2018^p \(\equiv\)2^p (mod 3) 

Vì là SNT > 5 => p lẻ

=> 2^p \(\equiv\)2 (mod 3)

2017^q \(\equiv\)1 (mod 3)

=> 2018^p - 2017^q \(\equiv\)2 - 1 = 1 (mod 3)

Vậy 2018^p - 2017^q chia 3 dư 1

b) xét số dư khi chia p cho 3 => p có 2 dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

+ p = 3k + 1 => 3p⁵ \(⋮\)3 ; 5p³ \(\equiv\)2 (mod 3) ; 7p \(\equiv\)1 (mod 3) => (3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)3

+ p = 3k + 1 => 3p⁵ \(⋮\)3 ; 5p³ \(\equiv\)1(mod 3) ; 7p \(\equiv\)2 (mod 3) => (3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)3

Vậy 3p⁵ + 5p³ + 7p \(⋮\)3 (1)

Xét số dư khi chia p cho 5 => p có 4 dạng 5k+1;5k+2;5k+3;5k+4

+ p = 5k + 1 => 3p⁵ \(\equiv\)3 (mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)7 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5

 + p = 5k + 2 => 3p⁵ \(\equiv\)1 (mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)4 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5                                                                                                    

+ p = 5k + 3 => 3p⁵ \(\equiv\)4 (mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)1 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5

+ p = 5k + 4 => 3p⁵ \(\equiv\) 2(mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)3 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5

Vậy 3p⁵ + 5p³ + 7p \(⋮\)5 (2)

Từ (1) và (2) và (3;5) = 1 =>  3p⁵ + 5p³ + 7p \(⋮\)15 

=> \(\frac{3p^5+5p^3+7b}{15}\)là số nguyên (đpcm)

Em mới lớp 6 thôi,thông cảm

P(1) = 0 ; P(3) = 0 ; P(5) = 0 nên 1 ; 3 ; 5 lần lượt là nghiệm của phương trình nên 
P(x) chứa nhân tử (x-1), (x-3), (x-5) 
vì P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là một nên P(x) có dạng: 
P(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-a)
 Q = P(-2) + 7P(6)
= (-2-1)(-2-3)(-2-5)(-2-a) + 7(6-1)(6-3)(6-5)(6-a)
= 210 + 105a + 7(90 - 15a)
= 210 + 105a + 630 - 105a
= 840

???????????