Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = a\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 2} \right) = 0 - 2 =  - 2\)

Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).  Khi đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a =  - 2\).

Vậy với \(a =  - 2\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án D

Ta có hàm số  g x = f x - 2018  là hàm số bậc ba liên tục trên R.

Do a>0 nên  l i m x → - ∞ g ( x ) = - ∞ ;   l i m x → + ∞ g ( x ) = + ∞

Để ý g 0 = d - 2018 > 0 ;   g 1 = a + b + c + d - 2018 < 0  nên phương trình g(x)=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R.

Khi đó đồ thị hàm số  g x = f x - 2018 cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt nên hàm số  y = f x - 2018  có đúng 5 cực trị.

Đáp án D

Ta có: Hàm số luôn đồng biến trên

ℝ ⇔ y ' = 3 a x 2 + 2 b x + c ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ ⇔ a > 0 Δ y ' = b 2 − 3 a c ≤ 0

a.

TXĐ: \(D=\left[-4;2\right]\)

\(0\le\sqrt{9-\left(x+1\right)^2}\le3\Rightarrow-1\le\sqrt{9-\left(x+1\right)^2}\le2\)

\(\Rightarrow f'\left(\sqrt{8-x^2-2x}-1\right)\le0\) ; \(\forall x\in D\)

\(g'\left(x\right)=-\dfrac{x+1}{\sqrt{8-x^2-2x}}.f'\left(\sqrt{8-x^2-2x}-1\right)\) luôn cùng dấu \(x+1\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[-1;2\right]\) và nghịch biến trên \(\left[-4;-1\right]\)

Từ BBT ta thấy \(g\left(x\right)_{max}=g\left(-4\right)=g\left(2\right)=f\left(-1\right)=?\)

\(g\left(x\right)_{min}=g\left(-1\right)=f\left(2\right)=?\)

(Do đề chỉ có thế này nên ko thể xác định cụ thể được min-max)

b.

\(g'\left(x\right)=\left(2x+1\right).f'\left(x^2+x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\f'\left(x^2+x\right)=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1), ta chỉ cần quan tâm 2 nghiệm bội lẻ:

\(f'\left(x^2+x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x=-1\left(vô-nghiệm\right)\\x^2+x=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Với \(\left[{}\begin{matrix}x\le-2\\x\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+x\ge2\) ; với \(-2\le x\le1\Rightarrow-1\le x^2+x\le2\) nên ta có bảng xét dấu:

Từ BBT ta có: \(x=-\dfrac{1}{2}\) là cực đại, \(x=-2;x=1\) là 2 cực tiểu

Hàm đồng biến trên ... bạn tự kết luận

Đáp án D.

Chọn B

Vì y =  a x 3 + c x + d ,   a ≠ 0  là hàm số bậc ba và có  m i n x ∈ - ∞ ; 0   f ( x )   =   f ( - 2 ) nên a < 0 và y' = 0   có hai nghiệm phân biệt.

Ta có  có hai nghiệm phân biệt  ⇔ ac < 0

Vậy với a < 0, c > 0 thì y' = 0 có hai nghiệm đối nhau 

Từ đó suy ra

⇔ c = -12a

Ta có bảng biến thiên

Ta suy ra 

Đáp án C

Ta có y ' = 3 a x 2 + 2 b x + c  

Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y ' ≥ 0 , ∀ x ∈ ℝ  

T H 1 : a = 0 ⇒ y ' = 2 b x + c ⇒ b = 0 ⇒ y ' = c > 0 ⇔ c > 0 b ≠ 0 ⇒ y ' = 2 b x + c ≥ 0 ⇔ c ≥ − c 2 b ⇒ a = b = 0 , c = 0 T H 2 : a ≠ 0 ⇒ y ' ≥ 0 , ∀ x ∈ ℝ ⇔ a > 0 Δ = 2 b 2 − 12 a c ≤ 0 ⇔ a > 0 b 2 − 3 a c ≤ 0  

Kết hợ 2TH, ta có a = b = 0 , c > 0 a > 0 , b 2 − 3 a c ≤ 0