Bài 1:

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;-1;\dfrac{1}{2}\right\}\)

\(P=\left(\dfrac{x+1}{3x^2+3x}+\dfrac{1-2x}{6x^2-3x}-1\right):\dfrac{1-x}{2x}\)

\(=\left(\dfrac{x+1}{3x\left(x+1\right)}-\dfrac{2x-1}{3x\left(2x-1\right)}-1\right)\cdot\dfrac{2x}{-\left(x-1\right)}\)

\(=\left(\dfrac{1}{3x}-\dfrac{1}{3x}-1\right)\cdot\dfrac{-2x}{x-1}\)

\(=\left(-1\right)\cdot\dfrac{-2x}{x-1}=\dfrac{2x}{x-1}\)

b: Để P nguyên thì \(2x⋮x-1\)

=>\(2x-2+2⋮x-1\)

=>\(2⋮x-1\)

=>\(x-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

=>\(x\in\left\{2;0;3;-1\right\}\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được:

\(x\in\left\{2;3\right\}\)

c: P<1

=>P-1<0

=>\(\dfrac{2x}{x-1}-1< 0\)

=>\(\dfrac{2x-x+1}{x-1}< 0\)

=>\(\dfrac{x+1}{x-1}< 0\)

=>-1<x<1

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}-1< x< 1\\x\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\text{Đ}k:x\ne\dfrac{1}{3}\\ A=\dfrac{3x+8}{3x-1}=\dfrac{\left(3x-1\right)+9}{3x-1}=1+\dfrac{9}{3x-1}\)

Để A có giá trị lớn nhất thì \(\dfrac{9}{3x-1}\) là lớn nhất 

hay \(3x-1\) là nhỏ nhất 

⇒ A ko có giá trị nhỏ nhất

\(A=\dfrac{1}{6}xy^{7-n+2}z^{n-3}-x^{n-2-4}y^{8-n+2}\)

\(=\dfrac{1}{6}xy^{9-n}z^{n-3}-x^{n-6}y^{10-n}\)

Để đây là phép chia hết thì 9-n>=0 và n-3>=0 và n-6>=0 và 10-n>=0

=>n<=9 và n>=6

=>n thuộc {6;7;8;9}

=>3x+15-55 chia hết cho x+5

=> 3(x+5) -55 chia hết cho x+5

vì 3(x+5) chia hết cho x+5 nên 55 cũng chhia hết cho x+5

=> x+5 là ước của 55

=> x+5={1,-1,5,-5,11,-11,55,-55}

xét x+5 =....( đoạn này bạn tự làm nhé)

b) => 3x-12+4 chia hết cho x-4

=> 3(x-4) +4 chia hết cho x-4

vì 3(x-4) chia hết cho x-4 nên 4 chia hết cho x-4

=> x-4 là ước của 4

=> x-4={-1,1,-2,2,-4,4}

xét x-4=.....(bn xét lần lượt nha^^)

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow m^2+m\left(x^2-3x-4\right)-m\sqrt{x+7}-\left(x^2-3x-4\right)\sqrt{x+7}=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x^2-3x-4+m\right)-\sqrt{x+7}\left(x^2-3x-4+m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-\sqrt{x+7}\right)\left(x^2-3x-4+m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{x+7}\left(1\right)\\m=-x^2+3x+4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Với \(m\) nguyên tố \(\Rightarrow\) (1) luôn có đúng 1 nghiệm

Để pt có số nghiệm nhiều nhất \(\Rightarrow\) (2) có 2 nghiệm pb

\(\Rightarrow y=m\) cắt \(y=-x^2+3x+4\) tại 2 điểm pb thỏa mãn \(x\ge-7\)

\(\Rightarrow-66\le m\le\dfrac{25}{4}\Rightarrow m=\left\{2;3;5\right\}\)

ĐKXĐ: \(x\notin\left\{-1;2;-2\right\}\)

a) Ta có: \(A=\left(\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)^2-3x}-\dfrac{2x^2+4x-1}{x^3+1}-\dfrac{1}{x+1}\right):\dfrac{x^2-4}{3x^2+6x}\)

\(=\left(\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2-x+1}-\dfrac{2x^2+4x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\dfrac{1}{x+1}\right):\dfrac{x^2-4}{3x^2+6x}\)

\(=\left(\dfrac{x^3+3x^2+3x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\dfrac{2x^2+4x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\dfrac{x^2-x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\right):\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{3x\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x^3+3x^2+3x+1-2x^2-4x+1-x^2+x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}:\dfrac{x-2}{3x}\)

\(=\dfrac{x^3+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\cdot\dfrac{3x}{x-2}\)

\(=\dfrac{3x}{x-2}\)

b) Để A nguyên thì \(3x⋮x-2\)

\(\Leftrightarrow3x-6+6⋮x-2\)

mà \(3x-6⋮x-2\)

nên \(6⋮x-2\)

\(\Leftrightarrow x-2\inƯ\left(6\right)\)

\(\Leftrightarrow x-2\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

hay \(x\in\left\{3;1;4;0;5;-1;8;-4\right\}\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được:

\(x\in\left\{3;1;4;0;5;8;-4\right\}\)

Vậy: Để A nguyên thì \(x\in\left\{3;1;4;0;5;8;-4\right\}\)

\(\dfrac{3}{x-5}-\dfrac{x+1}{x\left(x-5\right)}\left(dkxd:x\ne0,x\ne5\right)\\ =\dfrac{3x-x-1}{x\left(x-5\right)}=\dfrac{2x-1}{x^2-5x}\)

----------------------------------------

\(\dfrac{8\left(y+2\right)}{3x^2}.\dfrac{15x^5}{4\left(y+2\right)^2}\left(dkxd:x\ne0,y\ne-2\right)\\ =\dfrac{8}{4}.\dfrac{15x^2.x^3}{3x^2}=10x^3\)

------------------------------------------

\(\dfrac{8\left(y-1\right)}{3x^2-3}:\dfrac{4\left(y-1\right)^3}{x^2-2x+1}\left(dkxd:x\ne1,x\ne-1\right)\\ =\dfrac{8\left(y-1\right)}{3\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\dfrac{\left(x-1\right)^2}{4\left(y-1\right)^3}\\ =\dfrac{2\left(x-1\right)}{3\left(x+1\right)\left(y-1\right)^2}\)