\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)

\(\Rightarrow1\ge2xy\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge xy\)

Có \(x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Vậy \(Min_{x+y}=\sqrt{2}\)

Làm tương tự với max

Thêm đk: x,y>0

Tìm max:

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\ge x+y\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

KL:...............................

Tìm Max nhá:

\(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=1\)

Suy ra \(\left(x+y\right)^2=1+2xy\)

Lại có: \(1=x^2+y^2\ge2xy\)

Suy ra \(\left(x+y\right)^2=1+2xy\le1+1=2\Leftrightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\sqrt{\frac{1}{2}}\)

Ê đạt: cái của bạn làm là tìm max chứ đâu phải min?

Áp dụng Bđt Bunhiacopxki vào 2 số \(x^2+4y^2\) và \(1+\dfrac{1}{4}\) có:

\(\left(x^2+4y^2\right)\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\ge\left(x+y\right)^2=A^2\Rightarrow A^2\le25\Rightarrow A\le5\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{1}=\dfrac{4y^2}{\dfrac{1}{4}}\Leftrightarrow x^2=16y^2\Rightarrow x=4,y=1\) 

\(2=x^2+y^2+z^2\ge y^2+z^2\ge2yz\Rightarrow yz\le1\)

\(P=x\left(1-yz\right)+y+z\Rightarrow P^2\le\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[\left(1-yz\right)^2+1\right]\)

\(P^2\le\left(2+2yz\right)\left(y^2z^2-2yz+2\right)\)

\(P^2\le2\left(yz\right)^3-2\left(yz\right)^2+4=2y^2z^2\left(yz-1\right)+4\le4\)

\(\Rightarrow P\le2\)

\(P_{max}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị

\(A=\sqrt{\left(1.x+\dfrac{1}{2}.2y\right)^2}\le\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\left(x^2+4y^2\right)}=5\)

\(A_{max}=5\) khi \(\left(x;y\right)=\left(4;1\right);\left(-4;-1\right)\)