Với mọi x ta có :

\(\left|x+50\right|=\left|-x-50\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|x+8\right|+\left|x+50\right|=\left|x+8\right|+\left|-50-x\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|x+8\right|+\left|-x-50\right|\ge\left|\left(x+8\right)+\left(-x-50\right)\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|x+8\right|+\left|-x-50\right|\ge42\)

Mà \(\left|x+13\right|\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left|x+8\right|+\left|-x-50\right|+\left|x+13\right|+2018\ge2060\)

\(\Leftrightarrow A\ge2060\)

Dấu "=" xảy ra khi :

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+8\right)\left(-x-50\right)\ge0\left(1\right)\\\left|x+13\right|=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+8\ge0\\-x-50\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+8\le0\\-x-50\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge-8\\-50\ge x\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le-8\\-50\le x\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\in\varnothing\\-50\le x\le-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-50\le x\le-8\left(I\right)\)

Từ \(\left(2\right)\Leftrightarrow x+13=0\)

\(\Leftrightarrow x=-13\left(II\right)\)

Từ \(\left(I\right)+\left(II\right)\Leftrightarrow A_{Min}=2060\Leftrightarrow x=-13\)

Tìm GTNN của biểu thức:

a) A = |x+5|+|x+17|

Giải

Ta có : A = |x+5|+|x+17| \(\ge\) |x+5+x+17|

A = |-x-5|+|x+17| \(\ge\) |-x-5+x+17| = | -12 | = 12

Dấu bằng xảy ra khi - 17 \(\le\) x \(\le\) -5

Vậy Min_A=12 khi - 17 \(\le\) x \(\le\) -5

b) B = |x+8|+|x+13|+|x+50|

Giải

B = |x+8|+|x+13|+|x+50| \(\ge\) (| x+8|+|-50-x |)+|x+13|

= (| x+8-50-x |)+|x+13|

= |-42| + |x+13|

= 42 + |x+13| \(\ge\) 42

Vậy Min_B = 42 khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+8\ge0\\x+13=0\\x+50\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-8\\x=-13\\x\ge-50\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=-13\)

c) C = |x+5|+|x+2|+|x−7|+|x−8|

Giải

C = |x+5|+|x+2|+|x−7|+|x−8|

\(\ge\) |x+5| + |x+2| + |7-x| + |8-x|

\(\ge\) |x+5+7-x| + |x+2+8-x|

\(\ge\) |12| + |10|

\(\ge\) 12 + 10 \(\ge\) 22

Vậy Min_C = 22 khi và chỉ khi :

-5 \(\le\) x \(\le\) 8 và -2 \(\le\) x \(\le\) 7 \(\Leftrightarrow\) -2 \(\le\) x \(\le\) 7

d) D = |x+3|+|x−2|+|x−5|

Giải

D = |x+3|+|x−2|+|x−5|

Tìm GTNN của biểu thức:

a) A = |x+5|+|x+17|

Giải

Ta có : A = |x+5|+|x+17| |x+5+x+17|

A = |-x-5|+|x+17| |-x-5+x+17| = | -12 | = 12

Dấu bằng xảy ra khi - 17 x -5

Vậy MinA=12 khi - 17 x -5

b) B = |x+8|+|x+13|+|x+50|

Giải

B = |x+8|+|x+13|+|x+50| (| x+8|+|-50-x |)+|x+13|

= (| x+8-50-x |)+|x+13|

= |-42| + |x+13|

= 42 + |x+13| 42

Vậy MinB = 42 khi và chỉ khi:

x = −13 .Vậy x=-13

x ≥ −50

c) C = |x+5|+|x+2|+|x−7|+|x−8|

Giải

C = |x+5|+|x+2|+|x−7|+|x−8|

=> |x+5| + |x+2| + |7-x| + |8-x|

|x+5+7-x| + |x+2+8-x| = |12| + |10| =12 + 10 = 22

Vậy MinC = 22 khi và chỉ khi :

-5 x 8 và -2 x 7 -2 x 7

Tìm GTNN của biểu thức:

a) A = |x+5|+|x+17|

Giải

Ta có : A = |x+5|+|x+17| |x+5+x+17|

A = |-x-5|+|x+17| |-x-5+x+17| = | -12 | = 12

Dấu bằng xảy ra khi - 17 x -5

Vậy MinA=12 khi - 17 x -5

b) B = |x+8|+|x+13|+|x+50|

Giải

B = |x+8|+|x+13|+|x+50| (| x+8|+|-50-x |)+|x+13|

= (| x+8-50-x |)+|x+13|

= |-42| + |x+13|

= 42 + |x+13| 42

Vậy MinB = 42 khi và chỉ khi:

c) C = |x+5|+|x+2|+|x−7|+|x−8|

Giải

C = |x+5|+|x+2|+|x−7|+|x−8|

\(\ge\) |x+5| + |x+2| + |7-x| + |8-x|

|x+5+7-x| + |x+2+8-x|

|12| + |10|

12 + 10 22

Vậy MinC = 22 khi và chỉ khi :

-5 x 8 và -2 x 7 -2 x 7

d) D = |x+3|+|x−2|+|x−5|

Giải

D = |x+3|+|x−2|+|x−5|

( |x+3|+|5-x| ) + |x-2| | x+3+5-x | + | x-2 | | 8 | + | x-2 | 8 + | x-2 | 8 Vậy MinD = 8 khi và chỉ khi:

Ta có tính chất : 

\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

\(\rightarrow A=\left|x+5\right|+\left|x+2\right|+\left|x-7\right|+\left|x-8\right|\ge\left|x+5+x+2+x-7+x-8\right|\)

​​\(\rightarrow A\ge\left|4x-8\right|\)

Vì \(\left|4x-8\right|\ge0\forall x\in R\) nên :

\(\rightarrow A\ge0\forall x\in R\)

Dấu "= " xảy ra khi : 

\(\left|4x-8\right|=0\) \(\Leftrightarrow4x-8=0\) 

                     \(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy \(A_{min}=0\Leftrightarrow x=2\)

bó tay

-100 taij x=0

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\):

\(A=\left|x-3\right|+\left|x-1\right|+\left|x+1\right|+\left|x+3\right|\)

\(=\left|3-x\right|+\left|x+3\right|+\left|1-x\right|+\left|x+1\right|\)

\(\ge\left|3-x+x+3\right|+\left|1-x+x+1\right|=8\)

\(minA=8\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3-x\right)\left(x+3\right)\ge0\\\left(1-x\right)\left(x+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1\le x\le1\)

\(\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+4\right)=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+4\right)\)
\(=\left(x+3\sqrt{x}-4\right)\left(x+3\sqrt{x}+2\right)=\left(x+3\sqrt{x}-1\right)^2-3^2\ge-9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+3\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{13}{4}=0\)
Tự giải tiếp

\(x\ge0\Rightarrow f\left(x\right)\ge-1.8=-8\)

Vậy GTNN của f(x) là -8 tại x=0

\(A=\left(x-1\right)\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)+2002\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x^2-9x+8\right)\left(x^2-9x+20\right)+2002\)

Đặt \(x^2-9x+14=y\)

\(\Rightarrow A=\left(y-6\right)\left(y+6\right)+2002\)

\(\Leftrightarrow A=y^2-36+2002\)

\(\Leftrightarrow A=y^2+1966\ge1966\)

Dấu "=" xảy ra khi

 \(x^2-9x+14=0\)

\(\Leftrightarrow x=2,7\)