Bài 2: 

Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{3}\)

nên HC=3HB

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB^2=48\)

\(\Leftrightarrow HB=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=4\cdot HB=16\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Bài 1:

ta có: \(AB=\dfrac{1}{2}AC\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow HC=4HB\)

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB=1\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HC=4\left(cm\right)\)

hay BC=5(cm)

Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=HB\cdot BC\\AC^2=HC\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{5}\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

AB/AC=4/3

=>HB/HC=16/9

=>HB/16=HC/9=k

=>HB=16k; HC=9k

AH^2=HB*HC

=>144k^2=24^2=576

=>k=2

=>HB=32cm; HC=18cm

AB=căn 32*50=40cm

AC=căn 18*50=30cm

Theo đề, ta có: 

\(HB\left(13-HB\right)=36\)

\(\Leftrightarrow HB^2-13HB+36=0\)

\(\Leftrightarrow HB=4\left(cm\right)\)

hay HC=9(cm)

Áp dụng HTL:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\Rightarrow AB\cdot AC=78\Rightarrow AB=\dfrac{78}{AC}\)

\(AB^2+AC^2=BC^2=169\\ \Leftrightarrow\dfrac{6084}{AC^2}+AC^2=169\\ \Leftrightarrow\dfrac{6084+AC^4}{AC^2}=\dfrac{169AC^2}{AC^2}\\ \Leftrightarrow AC^4-169AC^2+6084=0\\ \Leftrightarrow AC^4-117AC^2-52AC^2+6084=0\\ \Leftrightarrow AC^2\left(AC^2-117\right)-52\left(AC^2-117\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(AC^2-52\right)\left(AC^2-117\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}AC^2=52\\AC^2=117\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}AC=2\sqrt{13}\\AC=3\sqrt{13}\end{matrix}\right.\left(AC>0\right)\)

Mà AC là cạnh lớn nên \(AC=3\sqrt{13}\left(cm\right)\) và \(AB=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

Tiếp tục áp dụng HTL:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=4\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=9\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$AC^2=CH.CB$

$\Rightarrow \frac{9}{16}=\frac{BH}{CH}=(\frac{AB}{AC})^2$

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$

$AC=\frac{4}{3}AB=\frac{4}{3}.24=32$ (cm)

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{24^2+32^2}=40$ (cm)

$AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{24.32}{40}=19,2$ (cm)

Hình vẽ:

Bài 1:

              \(BC=CD+BD=68+51=119\)

\(AD\)là phân giác  \(\widehat{BAC}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}\)hay     \(\frac{51}{AB}=\frac{68}{AC}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{51^2}{AB^2}=\frac{68^2}{AC^2}=\frac{51^2+68^2}{AB^2+AC^2}=\frac{25}{49}\)

suy ra:    \(\frac{51^2}{AB^2}=\frac{25}{49}\)\(\Rightarrow\)\(AB=71,4\)

ÁP dụng hệ thức lượng ta có:

           \(AB^2=BH.BC\)

\(\Leftrightarrow\)\(BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{71,4^2}{119}=42,84\)

\(\Rightarrow\)\(CH=BC-BH=119-42,84=76,16\)

Bài 2:

Áp dụng Pytago ta có:

     \(AH^2+BH^2=AB^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BH^2=AB^2-AH^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BH^2=7,5^2-6^2=20,25\)

\(\Leftrightarrow\)\(BH=4,5\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

       \(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\frac{AB^2}{BH}=\frac{7,5^2}{4,5}=12,5\)

       \(AB.AC=BC.AH\)

\(\Rightarrow\)\(AC=\frac{BC.AH}{AB}=\frac{12,5.6}{7,5}=10\)

b)   \(cosB=\frac{AC}{BC}=\frac{10}{12,5}=0.8\)

      \(cosC=\frac{AB}{BC}=\frac{7,5}{12,5}=0,6\)

  theo hệ thức lượng tam giác vuông 
AC^2 = HC*BC = 16*BC (1) 
AH^2 = HC*BH = 16*BH (2) 
1/AH^2 = 1/AC^2 + 1/AB^2 (3) 
thay 1,2 vào 3: 
1/16*BH = 1/16*BC + 1/15^2 (4) 
mặt khác: 
BH = BC - HC = BC -16 
thay vào 4: 
1/16*(BC -16) = 1/16*BC + 1/225 
<=> 1/(BC - 16) - 1/BC = 16/225 
<=> (BC -BC +16)/((BC - 16)*BC) =16/225 
<=> BC^2 - 16*BC - 225 = 0 
=> BC = 25 (thỏa mãn) BC = -9 (loại) 
thay vào 1 ta có AC = 20 cm 
2 ta có AH = 12 cm 
Cố lên bạn nha!

Đặt HB=x(cm,x>0) => BC=HB+HC=x+16

Ta có: Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao

=>AB²=HB.BC

=>15²=x.(x+16)

=>225=x²+16x

=>x²+16x-225=0

=>x²+25x-9x-225=0

=>x.(x+25)-9.(x+25)=0

=>(x+25).(x-9)=0

=>x=-25(loại) hay x=9(nhận)

Vậy HB=9(cm)

Ta có: AH²=HB.HC(hệ thức lượng)

=>AH²=9.16=144

=AH=12(cm)

Ta có: AC²=HC.BC(hệ thức lượng)

=>AC²=16.25=400

=>AC=20(cm)

Ta có: BC=HB+HC=9+16=25(cm)

Vẽ hơi xấu , thông cảm nha ! 

 Bài này bạn áp dụng Pytago và Hệ thức lượng ( ở lớp 9 ) ! 

                                Áp dụng Py-ta-go ta có : AC²=AH²+HC²= 8²+8² = 128 => AC = \(\sqrt{128}\)= \(8\sqrt{2}\)

                               Rồi bạn áp dụng hệ thức lượng ta tính BC = AC²- HC . ( tính được BC rồi => HB ) 

                                 tiếp tục tính AB ² = BC² - AC² . Bạn thay số vào là tính được ngay , bài này khá đơn giản với HS lớp 9 ! . CHúc bạn thành công !