ĐKXĐ: \(-2\le x\le3\)

Do trên \(\left[-2;3\right]\) cả \(2x+5\) và \(x+4\) đều dương nên BPT tương đương:

\(\frac{1}{2x+5}\le\frac{1}{x+4}\Leftrightarrow x+4\le2x+5\Leftrightarrow x\ge-1\)

Vậy nghiệm của BPT là \(\left[{}\begin{matrix}x=-2\\-1\le x\le3\end{matrix}\right.\)

a/ ĐKXĐ: ....

\(VT=\sqrt{11+x}+\sqrt{1-x}\ge\sqrt{11+x+1-x}=\sqrt{12}\)

\(VP=2-\frac{x^2}{4}\le2< \sqrt{12}\)

\(\Rightarrow VP< VT\Rightarrow\) BPT vô nghiệm

b/

ĐKXĐ: ...

- Với \(x\le0\Rightarrow VT\le0< VP\Rightarrow\) BPT vô nghiệm

- Với \(x>0\) \(\Rightarrow x>2\) hai vế đều dương, bình phương:

\(x^2+\frac{4x^2}{x^2-4}+\frac{4x^2}{\sqrt{x^2-4}}>45\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{x^2-4}+\frac{4x^2}{\sqrt{x^2-4}}-45>0\)

Đặt \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2+4t-45>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t< -9\left(l\right)\\t>5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}>5\Leftrightarrow x^4>25\left(x^2-4\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4-25x^2+100>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2< 5\\x^2>20\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2< x< \sqrt{5}\\x>2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

c/

ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)

Do \(-2\le x\le2\Rightarrow x+2\ge0\Rightarrow VT\ge0\) \(\forall x\)

Mà \(VP=-2x-8=-2\left(x+2\right)-4\le-4< 0\)

\(\Rightarrow VP< VT\)

Vậy BPT đã cho vô nghiệm

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{2x^2-10x+16}-4x+12-4\sqrt{x-1}\le0\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{2x^2-10x+16}-5x+9+x+3-4\sqrt{x-1}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{16\left(2x^2-10x+16\right)-\left(5x-9\right)^2}{4\sqrt{2x^2-10x+16}+5x-9}+\frac{\left(x+3\right)^2-16\left(x-1\right)}{x+3+4\sqrt{x-1}}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{7\left(x-5\right)^2}{4\sqrt{2x^2-10x+16}+5x-9}+\frac{\left(x-5\right)^2}{x+3+4\sqrt{x-1}}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2=0\Rightarrow x=5\)

Vậy BPT có nghiệm duy nhất \(x=5\)

Đặt \(x^2-3x+3=t>0\)

\(\sqrt{t}+\sqrt{t+3}\ge3\)

\(\Leftrightarrow2t+3+2\sqrt{t^2+3t}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{t^2+3t}\ge3-t\)

- Với \(t>3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT>0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(t\le3\)

\(\Leftrightarrow t^2+3t\ge t^2-6t+9\Rightarrow t\ge1\)

Vậy nghiệm của BPT là \(t\ge1\Leftrightarrow\sqrt{x^2-3x+3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le1\\x\ge2\end{matrix}\right.\)

a/ ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x+8}\ge3\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+8}\ge\sqrt{x+3}+\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow x+8\ge2x+3+2\sqrt{x^2+3x}\)

\(\Leftrightarrow5-x\ge2\sqrt{x^2+3x}\)

- Với \(x>5\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT< 0\\VP\ge0\end{matrix}\right.\) BPT vô nghiệm

- Với \(x\le5\) hai vế ko âm, bình phương:

\(x^2-10x+25\ge4x^2+12x\)

\(\Leftrightarrow3x^2+22x-25\le0\Rightarrow-\frac{25}{3}\le x\le1\)

Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(0\le x\le1\)

b/ ĐKXĐ: \(x>0\)

\(\Leftrightarrow5\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)< 2\left(x+\frac{1}{4x}\right)+4\)

Đặt \(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=t\ge\sqrt{2}\Rightarrow x+\frac{1}{4x}=t^2-1\)

BPT trở thành:

\(5t< 2\left(t^2-1\right)+4\)

\(\Leftrightarrow2t^2-5t+2>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t>2\\t< \frac{1}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}>2\Leftrightarrow2x-4\sqrt{x}+1>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}< \frac{2-\sqrt{2}}{2}\\\sqrt{x}>\frac{2+\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}0\le x< \frac{3-2\sqrt{2}}{2}\\x>\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

c/ ĐKXĐ: \(x\ge-2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}>\sqrt{2\left(x+2\right)}-\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}>\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow x+3>\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2}-2\right)x>3-4\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow x>\frac{3-4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}\)

Hai vế đều dương, bình phương thoải mái bạn, có điều hơi lâu

ĐKXĐ: \(x>0\)

\(\Leftrightarrow2\left(2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)< \frac{1}{2}\left(4x+\frac{1}{x}\right)+2\)

Đặt \(2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=t\ge2\sqrt{2}\) \(\Rightarrow4x+\frac{1}{x}=t^2-4\)

\(2t< \frac{1}{2}\left(t^2-4\right)+2\Leftrightarrow t^2-4t>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t< 0\\t>4\end{matrix}\right.\) kết hợp điều kiện t ta được \(t>4\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}>4\Leftrightarrow2x+1>4\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow4x^2-12x+1>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x< \frac{3-2\sqrt{2}}{2}\\x>\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp ĐKXĐ ta được nghiệm của BPT đã cho là:

\(\left[{}\begin{matrix}0< x< \frac{3-2\sqrt{2}}{2}\\x>\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

a, Đặt\(\sqrt{x.\left(5-x\right)}=t\) \(\left(0\le t\right)\)

Bpt trở thành: \(-t^2+t+2< 0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}t< -1\left(loai\right)\\t>2\end{matrix}\right.\)

Với t>2 =>\(\sqrt{x.\left(5-x\right)}>2\)

<=>\(-x^2+5x-4>0\)

<=>\(1< x< 4\)

<=>\(x\in\left(1;4\right)\)

b/ Hiển nhiên rằng vế phải không âm, do đó nghiệm của BPT chính là tất cả các giá trị làm cho biểu thức xác định

Vậy bạn chỉ cần tìm ĐKXĐ cho vế trái là xong (rất đơn giản)