Đặt  \(P=a^3+b^3+ab\)  , ta có:

\(P=a^3+b^3+ab\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+ab\)  

Tại   \(a+b=1\)  thì  ta biến đổi biểu thức  \(P\)  như sau:

\(P=1-2ab\)  \(\left(\text{ *}\right)\) 

Mà   \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\)  \(1\ge4ab\)  (do  \(a+b=1\)  )

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{4}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\)  \(-\frac{1}{2}\ge-2ab\)  

Thay vào  \(\left(\text{ *}\right)\)  , ta được:   \(P\ge1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)  với mọi  \(a;b\)

Dấu  \("="\)  xảy ra   \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy,   \(P_{min}=\frac{1}{2}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=\frac{1}{2}\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức   \(a^3+b^3+ab\)  là  \(\frac{1}{2}\)

\(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2+b^2-ab+ab=a^2+b^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được : \(1=\left(1.a+1.b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)=2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Vậy Min \(a^3+b^3+ab=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Ta có:

\(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2-ab+b^2+ab=a^2+b^2=a^2+\left(1-a\right)^2\) (vì a+b=1)

\(a^2+\left(1-a\right)^2=2a^2-2a+1=2\left(a^2-a+\frac{1}{2}\right)=2\left(a^2-2.a.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

=>GTNN của biểu thức là 1/2

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

b: \(A=\dfrac{2-1}{3\cdot2}=\dfrac{1}{6}\)

\(B=a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

Với \(a+b=1\)ta có: \(B=a^2-ab+b^2+ab=a^2+b^2\)\

Từ \(a+b=1\)\(\Rightarrow b=1-a\)

\(\Rightarrow B=a^2+\left(1-a\right)^2=a^2+1-2a+a^2=2a^2-2a+1\)

\(=2\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2\left(a^2-2.\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)

\(=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)

Vì \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\)\(\Rightarrow2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall a\)

hay \(B\ge\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a-\frac{1}{2}=0\)\(\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow b=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(minB=\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)

\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)

Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)

\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)

\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)

\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)

\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị

thế bạn bt hok

lỗi h/ảnh