Question

Khi \(a+b=1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(a^3+b^3+ab\)

Answer 1

chắc là 6

Answer 2

Đặt \(A=a^3+b^3+ab\)

\(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(A=a^2-ab+b^2+ab\)

\(A=a^2+b^2\)

Lại có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge a^2+b^2+2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow Min_A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)