Rất dễ dàng, chúng ta có:

\(VT-VP=\frac{2ab\left[\left(a+bc-b-c\right)^2+\left(c-1\right)^2\right]+c\left(b-1\right)^2\left[\left(a+b-c\right)^2+1\right]}{2ab+c\left(b-1\right)^2}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\). Ta có đpcm.

Anh tth bày em didéplê mak e ko có bt đi nên dùng dirichlet tạm vậy.......

Trong 3 số \(a-1;b-1;c-1\) có ít nhất 2 số cùng dấu,giả sử đó là \(a-1;b-1\)

\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\Rightarrow abc-ac-bc+c\ge0\)

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1=\left(a-b\right)^2+\left(1-c\right)^2+2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(abc-ac-bc+c\right)\)

Rất dễ thấy \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(1-c\right)^2\ge0;2\left(abc-ac-bc+c\right)\ge0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Có một cách khác dùng cô si :)

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1=a^2+b^2+c^2+abc+abc+1\ge a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

Đặt \(a^2=x^3;b^2=y^3;c^2=z^3\)

Khi đó BĐT tương đương với:

\(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge2\left(\sqrt{x^3y^3}+\sqrt{y^3z^3}+\sqrt{z^3x^3}\right)\)

Ta có:\(2\sqrt{x^3y^3}=xy2\sqrt{xy}\le xy\left(x+y\right)\)

Tương tự khi đó BĐT tương đương với:

\(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)\) ( đúng theo BĐT Schur )

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:

\(a^2+bc\geq 2\sqrt{a^2bc}; b^2+ac\geq 2\sqrt{b^2ac}; c^2+ab\geq 2\sqrt{c^2ab}\)

Do đó:

\(\text{VT}=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2ab}}\)

hay \(\text{VT}\leq \frac{\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}{2abc}(*)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{bc}\leq \frac{b+c}{2}\\ \sqrt{ac}\leq \frac{a+c}{2}\\ \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\leq a+b+c(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

Ta có: \(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+bc}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{b^2+ac}\le\frac{1}{2b\sqrt{ac}};\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)

Cộng theo vế ta có:

\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{\sqrt{bc}}{2abc}+\frac{\sqrt{ac}}{2abc}+\frac{\sqrt{ab}}{2abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}{2abc}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+bc}\le\dfrac{1}{2\sqrt{a^2bc}}=\dfrac{1}{2a\sqrt{bc}}=\dfrac{\sqrt{bc}}{2abc}\)

Tương tự:

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)

Dấu "=" khi a=b=c

  Áp dụng BĐT côsi ta có: 

a² + bc ≥ 2.a√(bc) 

<=> 1/(a² + bc) ≤ 1/(2a√(bc)) -------------(1) 

tương tự vậy: 

1/(b² + ac) ≤ 1/(2b√(ac)) -------------------(2) 

1/(c² + ab) ≤ 1/(2c√(ab)) -------------------(3) 

lấy (1) + (2) + (3) 

=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ 1/(2a√(bc)) + 1/(2b√(ac)) + 1/(2c√(ab)) 

<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ √(bc)/2abc + √(ac)/2abc + √(ab)/2abc 

<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ [√(bc) + √(ac) + √(ab) ]/2abc (!) 

Ta chứng minh bổ đề: 

√(ab) + √(bc) + √(ac) ≤ a + b + c 

thật vậy, áp dụng BĐT côsi ta được: 

a + b ≥ 2√(ab) --- (*) 

a + c ≥ 2√(ac) --- (**) 

b + c ≥ 2√(bc) --- (***) 

lấy (*) + (**) + (***) => 2(a + b + c) ≥ 2.[ √(bc) + √(ac) + √(ab) ] 

<=> √(bc) + √(ac) + √(ab) ≤ a + b + c (@) 

từ (!) và (@) 

=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ (a + b + c)/2abc ( Đpcm )

Áp dụng AM - GM:

\(\frac{1}{a^2+bc}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}};\frac{1}{b^2+ac}\le\frac{1}{2b\sqrt{ca}};\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)

Khi đó:

\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)

\(VT\le\frac{1}{2\sqrt{a^2bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2ab}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab.ac}}+\frac{1}{\sqrt{ab.bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac.bc}}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Tất cả đều là BĐT Cô-si đó bạn:

\(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}\Rightarrow\frac{1}{a^2+bc}\le\frac{1}{2\sqrt{a^2bc}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{ab.ac}}=\sqrt{\frac{1}{ab}}.\sqrt{\frac{1}{ac}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\right)\) (chính là BĐT Cô-si dạng \(\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\left(x+y\right)\) thôi)