cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao

Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V

tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M  >=(a+b+c)/8

a² + b² + c² = ab + bc + ca 

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0

<=> (a² - 2ab + b²) + (b² - 2ca + c²) + (c² - 2ac + a²) = 0

<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

Dễ thấy   (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² \(\ge0\forall a,b,c\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)

Mà a + b + c = 2025 

nên \(a=b=c=675\)

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 

<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0

<=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2ca + c2) + (c2 - 2ac + a2) = 0

<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0

Dễ thấy   (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 $\ge 0\forall a,b,c$

Dấu "=" xảy ra khi {�−�=0�−�=0�−�=0⇔�=�=�⎩⎨⎧​a−b=0b−c=0a−c=0​⇔a=b=c

Mà a + b + c = 2025 

nên $a=b=c=675$

.Tuy nhiên mik có thể chữa lại đề cho ae dễ đọc nha:

Cho a,b,c>0 và:

\(P=\frac{a^3}{a^2}+ab+b^2+\frac{b^3}{b^2}+bc+c^2+\frac{c^3}{c^2}+ac+a^2.\)

\(Q=\frac{b^3}{a^2}+ab+b^2+\frac{c^3}{b^2}+bc+c^2+\frac{a^3}{c^2}+ac+a^2.\)

Chứng minh rằng:P=Q.

Ta dễ có bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Mà a+b+c=2021 nên a=b=c=2021/3

Bài 5: 

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

b) Xét ΔDBI vuông tại I và ΔDCI vuông tại I có 

DI chung

BI=CI(I là trung điểm của BC)

Do đó: ΔDBI=ΔDCI(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{DBI}=\widehat{DCI}\)(hai góc tương ứng)

c) Xét ΔECB có 

CD là đường trung tuyến ứng với cạnh EB

\(CD=\dfrac{EB}{2}\)

Do đó: ΔECB vuông tại C(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

Bài 4: 

a) Ta có: \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)(gt)

mà \(BM=CM=\dfrac{1}{2}BC\)(gt)

nên AM=BM=CM

Xét ΔABM có MA=MB(cmt)

nên ΔABM cân tại M

Suy ra: \(\widehat{AMB}=180^0-2\widehat{MAB}\)

\(\Leftrightarrow180^0-\widehat{CMA}=180^0-2\widehat{MAB}\)

hay \(\widehat{CMA}=2\cdot\widehat{MAB}\)

Xét ΔACM có MA=MC(cmt)

nên ΔACM cân tại M

Suy ra: \(\widehat{AMC}=180^0-2\cdot\widehat{MAC}\)

\(\Leftrightarrow180^0-\widehat{BMA}=180^0-2\cdot\widehat{MAC}\)

hay \(\widehat{BMA}=2\cdot\widehat{MAC}\)

b) Ta có: \(\widehat{BAC}=\widehat{MAB}+\widehat{MAC}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

a) Do C nằm giữa A và B nên AC + CB = AB = 12cm

Lại có AC = 2BC nên ta tìm được AC = 8cm, BC = 4cm.

D nằm giữa A và C nên AD + DC = AC = 8 cm

Vậy nên AD = AC - DC = 8 - 5 = 3 (cm)

b) Do D nằm giữa A và C, C lại nằm giữa A và B nên D nằm giữa A và B.

Khi đó ta có AD + DB = AB hay DB = AB - AD = 12 - 3 = 9 (cm)

Trên tia BA có BC = 4cm < BD = 9cm nên C nằm giữa D và B.