Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MI và MK tới đường tròn (O).
Chứng minh rằng: 4 điểm M, I, O, K cùng thuộc 1 đường tròn
Xét tứ giác MIOK có
\(\widehat{MIO}+\widehat{MKO}=90^0+90^0=180^0\)
=>MIOK là tứ giác nội tiếp
=>M,I,O,K cùng thuộc một đường tròn
lấy A là trung điểm của OM,xét tam giác OMI có:
A là trung điểm của OM
O,M,I thuộc 1 đường tròn. (1)
Xét tam giác OMK có A là trung điểm của OM
O,M,K thuộc 1 đường tròn (2)
từ (1) và (2) suy ra 4 điểm M,I,O,K cùng thuộc 1 đường tròn
Từ điểm E ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến EI và EK tới đường tròn (O).
Chứng minh rằng: 4 điểm E, I, O, K cùng thuộc 1 đường tròn
Từ điểm E ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến EI và EK tới đường tròn (O).
Chứng minh rằng: 4 điểm E, I, O, K cùng thuộc 1 đường tròn
Do EI là tiếp tuyến của (O) tại I
⇒ EI OI
⇒ ∆OEI vuông tại I
⇒ O, E, I cùng thuộc đường tròn đường kính OE (1)
Do EK là tiếp tuyến của (O) tại K
⇒ EK OK
⇒ ∆OEK vuông tại K
⇒ O, E, K cùng thuộc đường tròn đường kính OE (2)
Từ (1) và (2) suy ra E, I, O, K cùng thuộc đường tròn đường kính OE
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MNP tới
đường tròn (O); gọi K là trung điểm của NP. Chứng minh rằng: 5 điểm M, A, O, K, B cùng thuộc
1 đường tròn
Lời giải:
Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $O$ nên $MA\perp OA, MB\perp OB$
$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$
Xét tứ giác $MAOB$ có $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$. Mà 2 góc này đối nhau nên $MAOB$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow M, A,O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn (1)
Mặt khác:
Tam giác $ONP$ cân tại $O$ (do $ON=OP=R$) nên trung tuyến $OK$ đồng thời là đường cao.
$\Rightarrow \widehat{MKO}=90^0$
Xét tứ giác $MAKO$ có $\widehat{MAO}=\widehat{MKO}=90^0$. Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $MO$ nên $MAKO$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow M,A,K,O$ cùng thuộc 1 đường tròn (2)
Từ $(1); (2)\Rightarrow M, A, O, K,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MNP tới
đường tròn (O); gọi K là trung điểm của NP. Chứng minh rằng: 5 điểm M, A, O, K, B cùng thuộc
1 đường tròn
Lời giải:
Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $O$ nên $MA\perp OA, MB\perp OB$
$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$
Xét tứ giác $MAOB$ có $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$. Mà 2 góc này đối nhau nên $MAOB$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow M, A,O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn (1)
Mặt khác:
Tam giác $ONP$ cân tại $O$ (do $ON=OP=R$) nên trung tuyến $OK$ đồng thời là đường cao.
$\Rightarrow \widehat{MKO}=90^0$
Xét tứ giác $MAKO$ có $\widehat{MAO}=\widehat{MKO}=90^0$. Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $MO$ nên $MAKO$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow M,A,K,O$ cùng thuộc 1 đường tròn (2)
Từ $(1); (2)\Rightarrow M, A, O, K,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AO, cắt AO tại H và đường tròn (O) tại E và F (E nằm giữa K và F). Gọi M là giao điểm của OK và BC.gọi D là giao điểm của BC và EF chứng minh DB.AC =DC.AB
Từ điểm K ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến KB, KD với đường tròn (B,D là các tiếp
điểm). Đường thẳng d đi qua K cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt A và C (O không thuộc (d),
A nằm giữa Kvà C). Gọi I là trung điểm của DB.
a) Chứng minh Tứ giác KBOD nội tiếp.
b) Chứng minh KA.KC = KI.KO
c) Kẻ dây CN // dây DB (N khác C). Chứng minh 3 điểm A,I,N thẳng hàng
a: Xét tứ giác KBOD có
\(\widehat{OBK}+\widehat{ODK}=180^0\)
=>KBOD là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
KB,KD là tiếp tuyến
=>KB=KD
mà OB=OD
nên OK là trung trực của BD
=>OK cắt BD tại trung điểm của BD
=>O,I,K thẳng hàng và OK\(\perp\)BD tại I
Xét ΔKBA và ΔKCB có
\(\widehat{KBA}=\widehat{KCB}\)
\(\widehat{BKA}\) chung
Do đó: ΔKBA đồng dạng với ΔKCB
=>KB/KC=KA/KB
=>\(KB^2=KA\cdot KC\)(1)
Xét ΔKBO vuông tại B có BI là đường cao
nên \(KI\cdot KO=KB^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(KA\cdot KC=KI\cdot KO\)
Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A ở ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn đó(B,C là các tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và BC.Gọi E là hình chiếu của C lên đường kính BD của (O). AD cắt CE tại K Chứng minh K là trung điểm CE
Từ điểm C ở ngoài đường tròn O ( O : R ) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tại các tiếp điểm A , B . trên dây cung AB lấy điểm K từ K vẽ đường thẳng vuông góc với đoạn OK cắt 2 đường thẳng CA , CB lần lượt tại E và D .
_CMR tam giác ODE cận
