Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{AB}}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\)

Do đó, AB có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)t\\y = {y_1} + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)t\end{array} \right.\)

Chọn \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {{y_2} - {y_1}; - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right)\), suy ra AB có phương trình tổng quát là:

\(\left( {{y_2} - {y_1}} \right)\left( {x - {x_1}} \right) - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {y - {y_1}} \right) = 0\).

a. Do \(\left(-2\right)+1-3+1=-3< 0\)

    và  \(4+\left(-5\right)-6+1=-6< 0\)

nên A, B  ở về cùng 1 phía của mặt phẳng (P). Do đó điểm \(C\in\left(P\right)\) sao cho \(CA+CB\) nhỏ nhất chính là giao điểm của đoạn AB với mặt phẳng (P), trong đó A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P)

Giả sử \(A'\left(x;y;z\right)\) do A' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}\frac{x-2}{2}+\frac{y+2}{2}-\frac{zx+2}{2}+1=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-1}\end{cases}\)

Giải hệ ta được \(x=0;y=3;z=1\)

Do đó \(A'\left(0;3;1\right)\)

Gọi \(C\left(x;y;z\right)\) là giao điểm của A'B với (P). Khi đó tọa độ của C' thỏa mãn phương tringf của (P) và hai vecto \(\overrightarrow{A'C};\overrightarrow{A'B}\) cùng phương. Do đó, ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-0}{4-0}=\frac{y-3}{-5-3}=\frac{z-1}{6-1}\end{cases}\)

Từ phương trình thứ 2 suy ra \(y=-2x+3\) và \(z=\frac{5}{4}x+1\)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được \(x=\frac{3}{4}\). Từ đó tìm được \(y=\frac{3}{2}\) và \(z=\frac{31}{16}\)

Vậy điềm \(C\) cần tìm là \(C\left(\frac{3}{4};\frac{3}{2};\frac{31}{16}\right)\)

b. Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó \(I\left(1;-2;\frac{9}{2}\right)\) và với mọi điểm D đều có \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DI}\)

Vậy \(D\in\left(P\right):\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right|\) bé nhất \(\Leftrightarrow\) D là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ của hình chiếu điểm I trên (P). Khi đó ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-\frac{9}{2}}{-1}\end{cases}\)

Giải hệ ta thu được : 

\(x=\frac{5}{2};y=-\frac{1}{2};z=3\)

Vậy điểm \(D\in\left(P\right)\) sao cho \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\) có độ dài nhỏ nhất là \(D\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)\)

Áp dụng bđt sau \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

Có: \(A=\left(x+2\right)^4+\left(x-4\right)^4\)

           \(=\left(x+2\right)^4+\left(4-x\right)^4\)

          \(\ge\frac{\left[\left(x+2\right)^2+\left(4-x\right)^2\right]^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+2+4-x\right)^2}{2}\right]^2}{2}\)

                                                                       \(=\frac{\left(\frac{6^2}{2}\right)^2}{2}=162\)

Dấu "=" xảy ra <=> x + 2 = 4 - x

                        <=> 2x = 2

                        <=> x = 1 

tìm Min là sao???

Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu này trùng 960055 nhé bạn.

Kết quả là \(\left(\frac{b+c-2a}{3}\right)^2\)+\(\left(\frac{a+c-2b}{3}\right)^2\)+\(\left(\frac{a+b-2c}{3}\right)^2\)

\(y=\left(m^2-1\right)x-m^2+3=m^2x-x-m^2+3=m^2\left(x-1\right)-x+3\)

\(\Rightarrow m^2\left(x-1\right)-\left(x-3+y\right)=0\). Để đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m thì \(\int^{x-1=0}_{x-3+y=0}\Leftrightarrow\int^{x=1}_{y=2}\)

Hệ số góc của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) là:

\(\begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( { - 2{{\rm{x}}^2}} \right) - \left( { - {{2.1}^2}} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2\left( {{{\rm{x}}^2} - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ { - 2\left( {{\rm{x}} + 1} \right)} \right] =  - 2\left( {1 + 1} \right) =  - 4\end{array}\)

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) vào phương trình đường tròn ta được: \({\left( {4 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 25\). Vậy điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 5\).

c) Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 4} \right)\). Vậy phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn \(\left( C \right)\) là:

\(3\left( {x - 4} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 20 = 0\)