\(P\left(2\right)=4a+2b+c=2\left(5a+b+2c\right)-6a-3c=-6a-3c\)

\(P\left(-1\right)=a-b+c=-\left(5a+b+2c\right)+6a+3c\)

\(\Rightarrow P\left(2\right).P\left(-1\right)=\left(-6a-3c\right)\left(6a+3c\right)=-\left(6a+3c\right)^2\le0\) (đpcm)

\(P\left(-3\right)=a\left(-3\right)^2+b\left(-3\right)+c=9a-3b+c\)

\(P\left(4\right)=a\left(4\right)^2+b.4+c=16a+4b+c\)

Cộng vế theo vế

Ta có: \(P\left(-3\right)+P\left(4\right)=\left(9a-3b+c\right)+\left(16a+4b+c\right)=25a+b+2c=0\)

f(-2).f(3) = (4a-2b+c).(9a+3b+c)
= (4a-2b+c).(13a+b+2c-(4a-2b+c))
Mà 13a+b+2c = 0 theo giả thiết
=> f(-2).f(3) = -[(4a-2b+c)^2]
Có (4a-2b+c)^2 luôn >= 0 => f(-2).f(3) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0

tự hỏi tự trả lời ak

tại sao (4a-2b+c)^2 luôn >=2 mà lại suy ra được f(-2)f(3) luôn nhỏ hơn = 0

Ta có: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(-3\right)=9a-3b+c\\f\left(4\right)=16a+4a+c\end{cases}}\) \(\Rightarrow f\left(-3\right)+f\left(4\right)=25a+b+2c=0\)

\(\Rightarrow f\left(-3\right)=-f\left(4\right)\)

Khi đó: \(f\left(-3\right)\cdot f\left(4\right)=-f\left(4\right)\cdot f\left(4\right)=-\left[f\left(4\right)\right]^2< 0\)

Đề bài bị sai rồi phần đpcm phải là "\(\le\)" chứ không phải "\(< \)

Ta có : \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(-3\right)=a.\left(-3\right)^2+b.\left(-3\right)+c=9a-3b+c\\f\left(4\right)=a.4^2+b.4+c=16a+4b+c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow f\left(4\right)+f\left(-3\right)=\left(16a+4b+c\right)+\left(9a-3b+c\right)=25a+b+2c=0\)

\(\Rightarrow f\left(-3\right)+f\left(4\right)=0\)

\(\Rightarrow f\left(-3\right)=-f\left(4\right)\)

\(\Rightarrow f\left(-3\right).f\left(4\right)=-f\left(4\right).f\left(4\right)=-[f\left(4\right)]^2\le0\)\(\forall x\)

\(\Rightarrowđpcm\)