a) Xét hình bình hành ABCD có I, K là trung điểm của AB và DC nên IK là đường trung bình. Vậy thì IK = BC = AD.

Xét tứ giác ADKI có 4 cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

b) Chứng minh tương tự, ta có KCBI là hình thoi.

Vậy thì KA là phân giác góc \(\widehat{DKI}\) , KB là phân giác góc \(\widehat{IKC}\)

Vậy nên \(\widehat{AKB}=\widehat{AKI}+\widehat{IKB}=\frac{1}{2}\widehat{DKI}+\frac{1}{2}\widehat{IKC}=\frac{1}{2}.180^o=90^o\)

Vậy \(\widehat{AKB}=90^o\)

c) Do AB = DC = 2 BC = 2AD nên chu vi hình bình hành bằng 6 lần BC. Vậy BC = 30 : 6 = 5 (cm)

AB = 2 x 5 = 10 (cm)

Do IKCB là hình thoi nên BK là phân giác góc IBC. Vậy nên \(\widehat{IBK}=60^o\) 

Suy ra IBK là tam giác đều hay KB = IK = BC = 5(cm)

Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: \(AK=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Vậy diện tích tam giác AKB bằng: \(\frac{1}{2}.5.5\sqrt{3}=\frac{25}{2}\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

Dễ thấy diện tích hình bình hành gấp đôi diện tích tam giác AKB nên \(S_{ABCD}=25\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

1: Xét ΔEAD có \(\widehat{EAD}=\widehat{EDA}=60^0\)

nên ΔEAD đều

=>AD=DE

=>CD=2DE

hay E là trung điểm của CD

Ta có: ΔEAD đều 

=>\(\widehat{AED}=60^0\)

=>\(\widehat{AEC}=120^0\)

=>\(\widehat{AEC}=\widehat{BCE}\)

Xét tứ giác ABCE có AB//CE
nên ABCE là hình thang

mà \(\widehat{AEC}=\widehat{BCE}\)

nên ABCE là hình thang cân

2:

Xét ΔABE có 

EF là đường trung tuyến

EF=AB/2

Do đó: ΔABE vuông tại E 

Theo gt: DC = 2AD (1)

M là TĐ của CD =>DC = 2.DM (2)

Từ (1) và (2) => AD=DM

=> △ADM cân tại D => \(\widehat{A_1}=\widehat{M_1}\) (3)

Lại có T.giác ABCD là hbh => AB // CD => \(\widehat{A_2}=\widehat{M_1}\left(SLT\right)\) (4)

Từ (3) và (4) => \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

Mà \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{BAD}\) => AM là phân giác \(\widehat{BAD}\)

CM tương tự với \(\widehat{ABC}\)