Lời giải:

Kẻ đường cao $AE$ và $BF$ của hình thang. Ký hiệu \(DE=a, EF=b, FC=c\)

Có \(\widehat{EAB}=180^0-\widehat{AEF}=180^0-90^0=90^0\). Như vậy tứ giác $ABFE$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AB=EF=b\)

\(\Rightarrow AB+CD=2b+a+c=15\)

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông:

\(AE^2+EC^2=AC^2\Leftrightarrow AE^2+(b+c)^2=144(1)\)

\(BF^2+DF^2=BD^2\Leftrightarrow BF^2+(a+b)^2=81(2)\)

Lấy \((1)-(2)\Rightarrow (b+c-a-b)(a+2b+c)=63\) (do \(AE=BF\) )

\(\Leftrightarrow (c-a).15=63\Rightarrow c-a=4,2\)

\(\Rightarrow 15=a+2b+c=a+2b+a+4,2\)

\(\Rightarrow b+a=5,4\)

Thay vào (2) suy ra: \(BF^2=\frac{1296}{25}\Rightarrow BF=7,2\)

\(S_{ABCD}=\frac{(AB+CD).BF}{2}=\frac{15.7,2}{2}=54\)

Kẻ BE//AC, E thuộc CD

Xét tứ giác ABEC có

AB//EC

AC//BE

=>ABEC là hình bình hành

=>AC=BE 

=>BE=BD

=>ΔBED cân tại B

=>góc BDE=góc BED

=>góc BDE=góc BAC

Xét tứ giác ABCD có góc BDC=góc BAC

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

=>góc BAD+góc BCD=180 độ

mà góc ADC+góc BAD=180 độ

nên góc ADC=góc BCD
=>ABCD là hình thang cân

e cần gấp ạa huhuhuh

a) Có AD=BC=5a, AC=12a 
Xét tam giác ABC vuộng tại C=> AB^2 =169a^2 <=> AB= 13a ( đlý Pitago ) 
Xét tam giác ABC vuộng tại C, có: SinABC =12a/13a, CosABC= 5a/13a 
=> ( sin B + cosB )/ (sinB -cosB) = ( 12a/13a + 5a/13a)/(12a/13a - 5a/13a)= 17/7 
b) Trong tam giác ADC, Kẻ AH vuông góc DC 
Trong tam giác ACB, Kẻ CK vuông góc AB 
Có AB//DC ( t/c hình thang) 
mà AD vuông góc DC 
=> AD vuông góc AB (1) 
Tương tự có CK vuông góc DC (2) 
(1)(2) => tứ giác ABCD là hcn ( dhnb hcn) 
=> AD=CK 
Xét tam giác ABC vuông tại C có CK là đường cao AB 
<=> AB.CK= CB.CA 
=> 13a.CK = 5a.12a 
<=> CK= (60/13)a = AH 
Xét tam giác AHC vuông tại H có HC= (144/13)a ( pitago) 
Xét tam giác AHD vuông tại H có HD= (25/13)a ( pitago) 
Mà H nằm giữa DC => DC = HC + HD = 13a 
=> S ABCD= 1/2AH(AB+CD)= 1/2. (60/13)a. (13a +13a)= 60 a^2 (đvdt) 
Chúc bạn học tốt!!!!!!