a, Bạn tự vẽ

b, PT hoành độ giao điểm (d₁) và (d₃) là 

\(x=-x+3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)\Leftrightarrow OA=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-0\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}-0\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

PT hoành độ giao điểm (d₂) và (d₃) là 

\(2x=-x+3\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow B\left(1;2\right)\Leftrightarrow OB=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(2-0\right)^2}=\sqrt{5}\)

Ta có \(AB=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-1\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}-2\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta có \(OA^2+AB^2=\dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{10}{2}=5=OB^2\) nên tg OAB vuông tại A

Do đó \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot AB=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3}{4}\left(đvdt\right)\)

a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng  \({\Delta _1};{\Delta _2}\)là nghiệm  của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x + y - 4 = 0\\x + \sqrt 3 y - 2\sqrt 3  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\y = 1\end{array} \right.\)

b)  Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = {30^o}\)

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) là \({30^o}\).

a: (d1) và (d2) cắt nhau khi \(a-1\ne3-a\)

=>\(2a\ne4\)

=>\(a\ne2\)

(d1)//(d2) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-1=3-a\\2< >1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a=4\\2< >1\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>2a=4

=>a=2

Vì \(b_1=2\ne1=b_2\)

nên (d1) và (d2) không thể trùng nhau

b: Khi hai đường thẳng cắt nhau thì phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\left(a-1\right)x+2=\left(3-a\right)x+1\)

=>\(\left(a-1-3+a\right)x=-1\)

=>\(\left(2a-4\right)x=-1\)

=>\(x=-\dfrac{1}{2a-4}\)

Khi \(x=-\dfrac{1}{2a-4}\) thì \(y=\left(a-1\right)\cdot\dfrac{-1}{2a-4}+2\)

\(=\dfrac{-a+1}{2a-4}+2\)

\(=\dfrac{-a+1+2\left(2a-4\right)}{2a-4}=\dfrac{3a-7}{2a-4}\)

vậy: Tọa độ giao điểm là \(A\left(-\dfrac{1}{2a-4};\dfrac{3a-7}{2a-4}\right)\)

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne-2\\m^2+5m+6=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m^2+5m=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\left(m+5\right)=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[{}\begin{matrix}m=0\\m+5=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+5=0\)

=>m=-5

a: Để hai đường song song thì

\(\left\{{}\begin{matrix}2m^2-m=1\\m^2+m< >2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)\left(2m+1\right)=0\\\left(m+2\right)\left(m-1\right)< >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

b: Thay x=2 vào (d1), ta đc:

\(y=2+2=4\)

Vì (d3) vuông góc với (d1) nên (d3): y=-x+b

Thay x=2 và y=4 vào (d3), ta được:

b-2=4

=>b=6

Lời giải:

a. 

b.

Gọi góc tạo bởi đường thẳng trên với trục $Ox$ là $\alpha$

Ta có:

$\tan \alpha=2\Rightarrow \alpha=63,43^0$

Đường thẳng (d) song song với (d') : 

\(a=2\)

Vì : (d) đi qua M(3,-2):

\(-2=2\cdot3+b\)

\(\Rightarrow b=-7\)

\(\left(d\right):y=2x-7\)

1: \(O_2D=O_2A+CD=\dfrac{AC}{2}+\dfrac{BC}{2}=\dfrac{AB}{2}=R_1\)

góc O2MD=góc O2MC+góc CMD

=1/2*sđ cung CM+góc MCA

=90 độ

=>DM là tiếp tuyến của (O2)

PD^2=BD*DA=DC*BA=DM^2=O2D-R2^2

=>PD^2=R1^2-R2^2

2: Xet ΔD1BD vuông tại D1 và ΔD4BD vuông tại D4 có

BD chung

góc D1BD=góc D4BD

=>ΔD1BD=ΔD4BD

=>D1=D4

CM tương tự, ta được: DD2=DD3, BP=BQ, PA=PB

=>D1D+D2D+D3D+D4D<=1/2(BP+PA+AQ+QB)

=>2*(D1D+D2D)<=PA+PB

PB^2=BD^2+DP^2>=2*DB*DP

=>\(PB>=\dfrac{2\cdot DB\cdot DP}{PB}=2\cdot D_1D\)

Chứng minh tương tự,ta được: \(AP>=\dfrac{2\cdot DA\cdot DP}{PA}=2\cdot D_2D\)

=>ĐPCM