Ôn tập Đường tròn

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2\)

=>\(OH\cdot OA=R^2\)

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD tại C

Ta có: BC\(\perp\)CD

OA\(\perp\)BC

Do đó: CD//OA

a: ta có: ΔOBC cân tại O

mà OA là đường cao

nên OA là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0\)

=>AC là tiếp tuyến của (O)

b: Ta có: OA//BD

BC\(\perp\)OA

Do đó: BD\(\perp\)BC

=>ΔBDC vuông tại B

Ta có: ΔBDC vuông tại B

=>ΔBDC nội tiếp đường tròn đường kính CD

mà ΔBDC nội tiếp (O)

nên CD là đường kính của (O)

c: Xét (O) có

ΔDEC nội tiếp

DC là đường kính

Do đó: ΔDEC vuông tại E

=>EC\(\perp\)ED tại E

=>CE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔCDA vuông tại C có CE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AC^2\left(1\right)\)

Xét ΔCOA vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AC^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)

=>\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)

Xét ΔAEH và ΔAOD có

\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH đồng dạng vớiΔAOD

=>\(\widehat{AEH}=\widehat{AOD}\)

mà \(\widehat{AEH}+\widehat{DEH}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{DEH}+\widehat{AOD}=180^0\)

=>\(\widehat{DEH}+\widehat{DOH}=180^0\)

=>DEHO là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ODH}=\widehat{OEH}\)

Xét (O) có

EA,EC là các tiếp tuyến

Do đó: EA=EC

=>E nằm trên đường trung trực của AC(1)

Ta có: OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của AC

=>OE\(\perp\)AC tại M

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét tứ giác CMON có \(\widehat{CMO}=\widehat{CNO}=\widehat{MCN}=90^0\)

nên CMON là hình chữ nhật

=>C,M,O,N cùng thuộc đường tròn đường kính CO(1)

Ta có: ΔCHO vuông tại H

=>H nằm trên đường tròn đường kính CO(2)

Từ (1),(2) suy ra C,M,O,N,H cùng nằm trên đường tròn đường kính CO

mà O cố định

nên đường tròn ngoại tiếp ΔHMN luôn đi qua điểm O cố định

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

=>CE\(\perp\)ED tại E

=>CE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔDCA vuông tại C có CE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AC^2\)

mà AC=AB

nên \(AE\cdot AD=AB^2\)

c: Xét (O) có

MB,ME là tiếp tuyến

Do đó: MB=ME

Xét (O) có

NE,NC là tiếp tuyến

Do đó: NE=NC

Chu vi tam giác AMN là:

\(C_{AMN}=AM+MN+AN\)

\(=AM+ME+EN+NA\)

\(=AM+MB+NC+NA\)

\(=AB+AC\)

a: Ta có: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của \(\widehat{BOC}\)

=>OA là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0\)

=>AC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

=>CE\(\perp\)ED tại E

=>CE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔDCA vuông tại C có CE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AC^2\)

mà AC=AB

nên \(AE\cdot AD=AB^2\)

c: Gọi giao điểm của ON với DE là K

Theo đề, ta có: ON\(\perp\)DE tại K

Ta có: ΔODE cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của DE

Xét ΔOKA vuông tại K và ΔOHN vuông tại H có

\(\widehat{KOA}\) chung

Do đó: ΔOKA đồng dạng với ΔOHN

=>\(\dfrac{OK}{OH}=\dfrac{OA}{ON}\)

=>\(OK\cdot ON=OH\cdot OA\)(1)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=OD^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(OD^2=OK\cdot ON\)

=>\(\dfrac{OD}{OK}=\dfrac{ON}{OD}\)

Xét ΔODN và ΔOKD có

\(\dfrac{OD}{OK}=\dfrac{ON}{OD}\)

\(\widehat{DON}\) chung

DO đó: ΔODN đồng dạng với ΔOKD

=>\(\widehat{ODN}=\widehat{OKD}=90^0\)

=>DN là tiếp tuyến của (O)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH=\sqrt{4\cdot9}=6\left(cm\right)\)

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE=6(cm)

b: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp

=>A,D,H,E cùng thuộc 1 đường tròn

c: \(\widehat{CAK}+\widehat{BAK}=90^0\)

\(\widehat{CKA}+\widehat{HAK}=90^0\)

mà \(\widehat{BAK}=\widehat{HAK}\)

nên \(\widehat{CAK}=\widehat{CKA}\)

=>ΔCAK cân tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên CI vuông góc AK

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\dfrac{12\cdot9}{15}=7.2\left(cm\right)\)

b: ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên \(AI\cdot IB=HI^2\)

ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên \(AK\cdot KC=HK^2\)

Xét tứ giác AIHK có 

\(\widehat{AIH}=\widehat{AKH}=\widehat{KAI}=90^0\)

=>AIHK là hình chữ nhật

=>\(HI^2+HK^2=IK^2=AH^2\)

=>\(AI\cdot IB+AK\cdot KC=AH^2=7.2^2=51.84\)

c: Vì AIHK là hình chữ nhật

nên A,I,H,K cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Bổ sung đề: đường kính BD

a: Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC(3)

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD(4)

Từ (3) và (4) suy ra OH//DC

Xét ΔBCD có OH//DC

nên \(\dfrac{OH}{DC}=\dfrac{BO}{BD}=\dfrac{1}{2}\)

=>DC=2OH

c: Bổ sung đề; AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E

Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>BE\(\perp\)ED tại E

=>BE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔBDA vuông tại B có BElà đường cao

nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(5\right)\)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)

=>\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)

Xét ΔAEH và ΔAOD có

\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH đồng dạng với ΔAOD

=>\(\widehat{AHE}=\widehat{ADO}\)