Ôn tập Đường tròn

a: PM\(\perp\)MQ

MQ\(\perp\)AB

Do đó: PM//AB

Xét tứ giác PMIO có

IO//MP

\(\widehat{PMI}=90^0\)

Do đó: PMIO là hình thang vuông

b: ΔMPQ vuông tại M

=>ΔMPQ nội tiếp đường tròn đường kính PQ

mà ΔMPQ nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của PQ

=>P,Q,O thẳng hàng

c: ΔAOC vuông tại O

=>\(OA^2+OC^2=AC^2\)

=>\(R^2+R^2=\left(a\sqrt{2}\right)^2=2a^2\)

=>\(R=a\)

Kẻ OH\(\perp\)AC

=>d(O;AC)=OH

Xét ΔOAC vuông tại O có OH là đường cao

nên \(OH\cdot AC=OA\cdot OC\)

=>\(OH\cdot a\sqrt{2}=a\cdot a=a^2\)

=>\(OH=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\)

Vậy: Khoảng cách từ O đến AC là \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

=>CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*góc AOB=90 độ

=>O nằm trên (I)

Xét hình thang ABDC có

O,I lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>OI là đường trung bình

=>OI//AC//BD

=>OI vuông góc AB

=>AB tiếp xúc (I) tại O

a: Gọi I là trung điểm của CM

Xét (I) có

ΔCDM nội tiếp

CM là đường kính

Do đó: ΔCDM vuông tại D

=>góc CDM=góc CDB=90 độ

Xét tứ giác ABCD có

góc CAB=góc CDB=90 độ

=>ABCD nội tiếp

b: Xét ΔCAB có CO/CB=CM/CA=1/2

nên OM//AB

=>OM vuông góc AC tại M

=>OM là tiếp tuyến của (I)

a) Để chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. Ta có:

- Góc BAD = góc BAC (cùng chắn cung BC)

- Góc BCD = góc BCA (cùng chắn cung BA)

Do đó, góc BAD + góc BCD = góc BAC + góc BCA = 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A)

Suy ra, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC, ta cần chứng minh OM vuông góc với MC. Ta có:

- Góc OMB = góc ONB (cùng chắn cung OB)

- Góc ONB = góc MNB (do tam giác MNB vuông tại N)

- Góc MNB = góc MCB (do tam giác MCB vuông tại C)

- Góc MCB = góc ACB (do tam giác ABC vuông tại A)

Do đó, góc OMB = góc ACB

Suy ra, OM vuông góc với MC.

Vậy OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC.

a: Xét ΔABC có BC^2=AB^2+AC^2

nên ΔABC vuông tại A

Xét (C) có

CA là bán kính

AB vuông góc CA tại A

Do đó: AB là tiếp tuyến của (C)

Xét (B) có

BA là bán kính

CA vuông góc BA tại A

Do đó: CA là tiếp tuyến của (B)

b: M ở đâu vậy bạn?

a: góc DAO+góc DMO=90+90=180 độ

=>DAOM nội tiếp đường tròn (O)

b: Xét (O) có

DA,DM là tiếp tuyến

=>DA=DM

mà OA=OM

nên OD là trung trực của AM

=>OD vuông góc AM tại H

ΔOMD vuông tại M có MH là đường cao

nên OH*OD=OM^2

=>OH*OD=R^2

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔABC vuông tại C

=>BC vuông góc AC

Xét ΔKAB vuông tại A có AC là đường cao

nên BC*BK=BA^2=4*R^2

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc BC tại H

Xét ΔABE và ΔADB có

góc ABE=góc ADB

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔADB

=>AB/AD=AE/AB

=>AB^2=AD*AE

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên AH*AO=AB^2

=>AD*AE=AH*AO

Xét (O) có

PA,PM là tiếp tuyến

=>PA=PM

mà OA=OM

nên OP là trung trực của AM

=>OP vuông góc AM

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔAMB vuông tại M

=>AM vuông góc MB

=>OP//MB

a: Xét (O) có

IA,IM là tiếp tuyến

=>IA=IM và OI là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

KM,KB là tiếp tuyến

=>KM=KB và OK là phân giác của góc MOB(2)

IK=IM+MK

=>IK=IA+KB

Từ (1), (2) suy ra góc IOK=1/2(góc MOA+góc MOB)

=1/2*180=90 độ