Bài 6: Ôn tập chương Đạo hàm

46.

\(y'=2cos2x+2sin2x\)

\(y'=sin4x+2m+1\Leftrightarrow2cos2x+2sin2x=sin4x+2m+1\)

\(\Leftrightarrow2m=2cos2x+2sin2x-sin4x-1\)

Đặt \(sin2x+cos2x=t\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

\(\Rightarrow t^2-1=2sin2x.cos2x=sin4x\)

\(\Rightarrow2m=2t-\left(t^2-1\right)-1=2t-t^2\)

Ta có: \(f\left(t\right)=2t-t^2=1-\left(t-1\right)^2\le1\)

\(f\left(-\sqrt{2}\right)=-2-2\sqrt{2}\) ; \(f\left(\sqrt{2}\right)=-2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow-2-2\sqrt{2}\le f\left(t\right)\le1\)

\(\Rightarrow-2-2\sqrt{2}\le2m\le1\)

\(\Rightarrow-1-\sqrt{2}\le m\le\dfrac{1}{2}\)

44.

\(f'\left(x\right)=3x^2-12x+9\)

\(f''\left(x\right)=6x-12\)

\(2f'\left(x\right)-x.f''\left(x\right)-6=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(3x^2-12x+9\right)-x\left(6x^2-12\right)-6=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

\(\Rightarrow x^3-6x^2+9x+1=1\)

\(\Rightarrow x\left(x-3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\)

Có 2 điểm thỏa mãn

45.

\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)

Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác vuông cân \(\Rightarrow\) có hệ số góc bằng 1 hoặc -1

\(\Rightarrow\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}=-1\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)

\(y\left(3\right)=3\) ; \(y\left(-1\right)=-1\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}y=-1\left(x-3\right)+3=-x+6\\y=-\left(x+1\right)-1=-x-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=5\\a+b=-3\end{matrix}\right.\)

Bài 39:

$f'(x)=(2022-x)'(2021-2x)(2020-3x)....(1-2022x)+(2022-x)(2021-2x)'(2020-3x)...(1-2022x)+.....+(2022-x)(2021-2x)...(1-2022x)'$

$=(-1)(2021-2x)(2020-3x)....(1-2022x)+(-2)(2022-x)(2020-3x)....(1-2022x)+.....+(-2022)(2022-x)(2021-2x)....(2-2021x)$

$\Rightarrow f'(-1)=(-1).2023^{2021}+(-2).2023^{2021}+....+(-2022).2023^{2021}$

$=-2023^{2021}(1+2+...+2022)$

$=-2023^{2021}.\frac{2022.2023}{2}=-1011.2023^{2022}$

Đáp án D.

Bài 42:

$y=\frac{(2x+1)^2}{(x-1)^3}$

$\Rightarrow y'=\frac{[(2x+1)^2]'(x-1)^3-[(x-1)^3]'(2x+1)^2}{(x-1)^6}$

$=\frac{4(2x+1)(x-1)^3-3(x-1)^2(2x+1)^2}{(x-1)^6}=\frac{4(2x+1)(x-1)-3(2x+1)^2}{(x-1)^4}=\frac{-4x^2-16x-7}{(x-1)^4}$

$\Rightarrow a=-4; b=-16; c=-7$

$\Rightarrow a-b+c=-4+16-7=5$

Đáp án C.

Bài 40:

$f'(x)+f(x)=0$

$\Leftrightarrow \cos x.e^{\sin x}+e^{\sin x}=0$

$\Leftrightarrow e^{\sin x}(\cos x+1)=0$

$\Leftrightarrow \cos x=-1$

$\Leftrightarrow x=\pi +2k\pi$ với $k$ nguyên bất kỳ.

Đáp án C.

8.

\(y'=3x^2-6x+4=3\left(x-1\right)^2+1\ge1\)

Vậy hệ số góc nhỏ nhất là 1

12.

\(x=0\Rightarrow y=-1\Rightarrow A\left(0;-1\right)\) là giao với trục tung

\(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow y'\left(0\right)=3\)

Tiếp tuyến: \(y=3\left(x-0\right)-1=0\Leftrightarrow y=3x-1\)

36.

\(y'=3x^2-6x+1\)

\(y''=6x-6=0\Rightarrow x=1\)

37.

\(y'=x^2-4x+2=\left(x-2\right)^2-2\ge-2\)

Hệ số góc nhỏ nhất bằng -2 tại x=2

\(y\left(2\right)=-\dfrac{1}{3}\)

Pt tiếp tuyến:

\(y=-2\left(x-2\right)-\dfrac{1}{3}=-2x+\dfrac{11}{3}\)

\(\Leftrightarrow6x+3y-11=0\)

38.

\(y'=3x^2-6x\)

\(y=2\) có hệ số góc bằng 0 nên 2 đường song song khi:

\(3x^2-6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-2\end{matrix}\right.\)

1: \(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\cdot3x^2+2x-\left(m+1\right)=x^2+2x-m-1\)

\(\Delta=2^2-4\left(-m-1\right)=4m+8\)

Để f'(x)>=0 với mọi x thì 4m+8<=0 và 1>0

=>m<=-2

=>\(m\in\left\{-10;-9;...;-2\right\}\)

=>Có 9 số

Ta có : \(y=\dfrac{x-1}{x+1}\Rightarrow y'=\dfrac{\left(x+1\right)-\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}\)

Giả sử d' là tiếp tuyến của đths đã cho . Do d' // d : y = \(\dfrac{x-2}{2}\)

\(\Rightarrow d'\) có HSG = 1/2 \(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow4=\left(x+1\right)^2\)  \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=2\\x+1=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\) 

Với x = 1 . PTTT d' : \(y=\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)+0=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\)

Với x = -3 . PTTT d' : \(y=\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)+2=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{7}{2}\)

y'=(x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)'/(x+1)^2=(x+1-x+1)/(x+1)^2=2/(x+1)^2

(d1)//(d)

=>(d1): y=1/2x+b

=>y'=1/2

=>(x+1)^2=4

=>x=1 hoặc x=-3

Khi x=1 thì f(1)=0

y-f(1)=f'(1)(x-1)

=>y-0=1/2(x-1)=1/2x-1/2

Khi x=-3 thì f(-3)=(-4)/(-2)=2

y-f(-3)=f'(-3)(x+3)

=>y-2=1/2(x+3)

=>y=1/2x+3/2+2=1/2x+7/2

26: (AB;A'C')=(AB;AC)=góc BAC=45 độ

=>Chọn B

27: \(lim\left(-5n^3-n^2+1\right)=lim\left[n^3\left(-5-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^3}\right)\right]\)

lim n^3=+vô cực

\(lim\left(-5-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^3}\right)=-5\)

=>\(lim\left(-5n^3-n^2+1\right)=-\infty\)

34 : y = sin 2x \(\Rightarrow y'=2cos2x\Rightarrow y''=-4sin2x\)  . Chọn A

35 : B = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)  ? -> Thiếu đề