Bài 6: Ôn tập chương Đạo hàm

Coi như chỉ xét tại những điểm hàm có đạo hàm (tức \(x\ne\pm1\))

\(\left(\left|1+x\right|\right)'=\left(\sqrt{\left(1+x\right)^2}\right)'=\dfrac{1+x}{\left|1+x\right|}\) ; \(\left(\left|1-x\right|\right)'=\left(\sqrt{\left(1-x\right)^2}\right)'=-\dfrac{1-x}{\left|1-x\right|}\)

Do đó:

\(f'\left(x\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1+x}{\left|1+x\right|}+\dfrac{1-x}{\left|1-x\right|}\right)\left(\left|1+x\right|+\left|1-x\right|\right)-\left(\left|1+x\right|-\left|1-x\right|\right)\left(\dfrac{1+x}{\left|1+x\right|}-\dfrac{1-x}{\left|1-x\right|}\right)}{\left(\left|1+x\right|+\left|1-x\right|\right)^2}\)

\(=\dfrac{\dfrac{2\left(1+x\right)\left|1-x\right|}{\left|1+x\right|}+\dfrac{2\left(1-x\right)\left|1+x\right|}{\left|1-x\right|}}{\left(\left|1+x\right|+\left|1-x\right|\right)^2}\)

\(=\dfrac{4\left(1-x^2\right)}{\left|1-x^2\right|\left(\left|1+x\right|+\left|1-x\right|\right)^2}\)

Yêu cầu đề bài là gì vậy bạn?

1/ \(y'=\left(1-3x\right)'\sqrt{x-3}+\left(1-3x\right)\left(\sqrt{x-3}\right)'=-3\sqrt{x-3}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-3}}\left(1-3x\right)\)

2/ \(y'=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}-\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\)

3/ \(y'=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}.\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)'=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}.\dfrac{-2}{\left(1+x\right)^2}=-\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}.\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}\)

4/ \(y'=\left(\cos5x\right)'.\cos7x+\cos5x.\left(\cos7x\right)'=-5\sin5x.\cos7x-7\cos5x\sin7x\)

5/ \(y'=\left(\cos x\right)'\sin^2x+\cos x\left(\sin^2x\right)'=-\sin^3x+2\sin x.\cos^2x\)

6/ \(y'=\left(\tan^42x\right)'=4.\tan^32x.\dfrac{2}{\cos^22x}\)

7/ \(y'=\dfrac{2\sin x+2\cos x-2x.\cos x+2x\sin x}{\left(\sin x+\cos x\right)^2}\)

Ờm, bạn tự rút gọn nhé :) Mình đang hơi lười :b

Đây có phải hàm số đâu nên sao xét tính đơn điệu bạn?

Nếu phương trình là \(\left(2m^2-5m+2\right)\left(x-1\right)^{2021}\left(x^{2020}-2\right)+2x^2-3=0\) thì còn có cơ hội giải quyết

Chứ đề đúng thế này thì e rằng không có cơ hội nào cả.

\(f'\left(x\right)=\left(\sqrt[3]{x}\right)'=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ f'\left(8\right)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}=\dfrac{1}{12}\)

1a.

\(y'=3x^2.f'\left(x^3\right)-2x.g'\left(x^2\right)\)

b.

\(y'=\dfrac{3f^2\left(x\right).f'\left(x\right)+3g^2\left(x\right).g'\left(x\right)}{2\sqrt{f^3\left(x\right)+g^3\left(x\right)}}\)

2.

\(f'\left(x\right)=\left(m-1\right)x^3+\left(m-2\right)x^2-2mx+3=0\)

Để ý rằng tổng hệ số của vế trái bằng 1 nên pt luôn có nghiệm \(x=1\), sử dụng lược đồ Hooc-ne ta phân tích được:

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1), với \(m=1\Rightarrow x=-3\)

- Với \(m\ne1\Rightarrow\Delta=\left(2m-3\right)^2+12\left(m-1\right)=4m^2-3\)

Nếu \(\left|m\right|< \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\) (1) vô nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm

Nếu \(\left|m\right|>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm