Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(a;b\right)\) và \(x_0\in\left(a;b\right)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

               \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\) 

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại điểm \(x_0\) và kí hiệu là \(f'\left(x_0\right)\) (hoặc \(y'\left(x_0\right)\)) tức là 

                \(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\)   .

Chú ý: +) Đại lượng \(\Delta x=x-x_0\) được gọi là số gia của đối số tại \(x_0\)  ;

            +) Đại lượng \(\Delta y=f\left(x\right)-f\left(x_0\right)=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy \(y'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại điểm \(x_0\) bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau:

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\) , tính

             \(\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\)

Bước 2: Lập tỉ số \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)

Bước 3: Tìm \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}\) tại điểm \(x_0=2\).

Giải:

Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=2\). Ta có

   \(\Delta y=f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right)=\dfrac{1}{2+\Delta x}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{\Delta x}{2\left(2+\Delta x\right)}\)

   \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\dfrac{1}{2\left(2+\Delta x\right)}\)

   \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{-1}{2\left(2+\Delta x\right)}=-\dfrac{1}{4}\) 

Vậy \(f'\left(2\right)=-\dfrac{1}{4}\).

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1:

Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý: 

a) Định lí trên tương đương với khẳng định: 

    Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) gián đoạn tại \(x_0\) thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

b) Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng.

   Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Chẳng hạn: Hàm số \(y=f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}-x^2\left(x\ge0\right)\\x\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\) liên tục tại \(x=0\) nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị "gãy" tại điểm \(O\left(0;0\right)\).

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho đường cong \(\left(C\right)\). Giả sử \(\left(C\right)\) là đường đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\in\left(C\right)\). Kí hiệu \(M\left(x;f\left(x\right)\right)\) là một điểm di chuyển trên \(\left(C\right)\). Đường thẳng \(M_0M\) là một cát tuyến của \(\left(C\right)\).

Nhận xét rằng khi \(x\rightarrow x_0\) thì \(M\left(x;f\left(x\right)\right)\) di chuyển trên \(\left(C\right)\) tới điểm \(M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\) và ngược lại. Giả sử cát tuyến \(M_0M\) có vị trí giới hạn, kí hiệu là \(M_0T\) và \(M_0T\) được gọi là tiếp tuyến tại \(M_0\) của \(\left(C\right)\). Điểm \(M_0\) được gọi là tiếp điểm.

b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(a;b\right)\) và có đạo hàm tại \(x_0\in\left(a;b\right)\). Gọi \(\left(C\right)\) là đồ thị của hàm số đó.

Định lí 2:

Đạo hàm của hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại điểm \(x_0\) là hệ số góc của tiếp tuyến \(M_0T\) của \(\left(C\right)\) tại điểm \(M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\).

c) Phương trình tiếp tuyến

Định lí 3:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left(C\right)\) của hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại điểm \(M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\) là

           \(y-y_0=f'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)\)

trong đó \(y_0=f\left(x_0\right)\).

Ví dụ 2: Cho parabol \(y=-x^2+3x-2\). Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ \(x_0=2\).

Giải:

Bằng định nghĩa ta tính được \(y'\left(2\right)=-1\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là \(-1\). 

Ngoài ra ta có \(y\left(2\right)=0\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm \(M_0\left(2;0\right)\) là

   \(y-0=\left(-1\right).\left(x-2\right)\) hay \(y=-x+2\).

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a) Vận tốc tức thời

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s=s\left(t\right)\), với \(s=s\left(t\right)\) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_0\) là đạo hàm của hàm số \(s=s\left(t\right)\) tại \(t_0\): 

         \(v\left(t_0\right)=s'\left(t_0\right)\).

b) Cường độ tức thời

Nếu điện lượng \(Q\) truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: \(Q=Q\left(t\right)\) (\(Q=Q\left(t\right)\) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \(t_0\) là đạo hàm của hàm số \(Q=Q\left(t\right)\) tại \(t_0\):

         \(I\left(t_0\right)=Q'\left(t_0\right)\).

II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa:

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng \(\left(a;b\right)\) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm \(x\) trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số \(f'\): \(\left(a;b\right)\rightarrow R\)

                                              \(x\rightarrow f'\left(x\right)\)

là đạo hàm của hàm số \(y=f\left(x\right)\) trên khoảng \(\left(a;b\right)\) , kí hiệu là \(y'\) hay \(f'\left(x\right)\).

Ví dụ 3:

+) Hàm số \(y=x^2\) có đạo hàm \(y'=2x\) trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\)  ;

+) Hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) có đạo hàm \(y'=-\dfrac{1}{x^2}\) trên các khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\).