Bài 5: Đạo hàm cấp hai

I. ĐỊNH NGHĨA

Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x\in\left(a;b\right)\). Khi đó hệ thức \(y'=f'\left(x\right)\) xác định một hàm số mới trên khoảng \(\left(a;b\right)\). Nếu hàm số \(y'=f'\left(x\right)\) lại có đạo hàm tại \(x\) thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại \(x\) và kí hiệu là \(y''\) hay \(f''\left(x\right)\)

Ví dụ: Hàm số \(y=x^3-5x^2+4x\) có đạo hàm là \(y'=3x^2-10x+4\)

          nên có đạo hàm cấp hai là \(y''=6x-10\).

Chú ý:

     +) Đạo hàm cấp 3 của hàm số \(y=f\left(x\right)\) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là \(y'''\) hoặc \(f'''\left(x\right)\) hoặc \(f^{\left(3\right)}\left(x\right)\)  ;

     +) Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm cấp \(n-1\), kí hiệu là \(f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\) \(\left(n\in N,n\ge4\right)\). Nếu \(f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp \(n\) của \(f\left(x\right)\), kí hiệu là \(y^{\left(n\right)}\) hoặc \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\).

         \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\right)'\).

Ví dụ 1: Với \(y=x^5\) ta có:

          \(y'=5x^4,y''=20x^3,y^{\left(3\right)}=60x^2\),

          \(y^{\left(4\right)}=120x,y^{\left(5\right)}=120\) và \(y^{\left(n\right)}=0\) với \(n>5\).

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số:

           a) \(y=\tan x\)  ;

           b) \(y=\dfrac{1}{1-x}\).

Giải:

a) \(y=\tan x\) 

    \(y'=\left(\tan x\right)'=\dfrac{1}{\cos^2}x=1+\tan^2x\)

    \(y''=\left(1+\tan^2x\right)'=\left(\tan^2x\right)'=2\tan x\dfrac{1}{\cos^2x}\).

b) \(y=\dfrac{1}{1-x}\)

    \(y'=\left(\dfrac{1}{1-x}\right)'=\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}\)

    \(y''=\left(\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}\right)'=\dfrac{-\left[\left(1-x\right)^2\right]'}{\left(1-x\right)^4}=\dfrac{-2\left(1-x\right)\left(1-x\right)'}{\left(1-x\right)^4}=\dfrac{2}{\left(1-x\right)^3}\).

II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI

Xét chuyển động xác định bởi phương trình \(s=f\left(t\right)\), trong đó \(s=f\left(t\right)\) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại \(t\) của chuyển động là \(v\left(t\right)=f'\left(t\right)\).

Lấy số gia \(\Delta t\) tại \(t\) thì \(v\left(t\right)\) có số gia tương ứng là \(\Delta v\).

Tỉ số \(\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\) được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian \(\Delta t\). Nếu tồn tại

               \(v'\left(t\right)=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\gamma\left(t\right)\) 

ta gọi \(v'\left(t\right)=\gamma\left(t\right)\) là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t\).

Vì \(v\left(t\right)=f'\left(t\right)\) nên 

              \(\gamma\left(t\right)=f''\left(x\right)\).

1. Ý nghĩa cơ học

Đạo hàm cấp hai \(f''\left(t\right)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(s=f\left(t\right)\) tại thời điểm \(t\).

Ví dụ 3: Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do \(s=\dfrac{1}{2}gt^2\) (lấy giá trị \(g=9,8\) m/s²)

Giải:

Có \(s=\dfrac{1}{2}gt^2\) ,

    \(s'=\left(\dfrac{1}{2}gt^2\right)'=2.\dfrac{1}{2}gt=gt\)

    \(s''=\left(gt\right)'=g\)

Vậy gia tốc tức thời tính được bằng \(s''=g=9,8\) (m/s²)

2. Ví dụ 

Xét chuyển động có phương trình 

          \(s\left(t\right)=A\sin\left(\omega t+\varphi\right)\)  (\(A,\omega,\varphi\) là các hằng số).

Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm \(t\) của chuyển động.

Giải:

Gọi \(v\left(t\right)\) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t\), ta có:

       \(v\left(t\right)=s'\left(t\right)=\left[A\sin\left(\omega t+\varphi\right)\right]'=A\omega\cos\left(\omega t+\varphi\right)\)

Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t\) là

       \(\gamma\left(t\right)=s''\left(t\right)=v'\left(t\right)=-A\omega^2\sin\left(\omega t+\varphi\right)\).