Bài 5: Đạo hàm cấp hai

\(y=sinx\Rightarrow y'=cosx;y''=-sinx;y'''=-cosx\)

Bằng quy nạp toán học ; ta c/m được : \(y^{\left(n\right)}sinx=sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(f\left(x\right)=x-\dfrac{1}{x}\Rightarrow f'\left(x\right)=1+\dfrac{1}{x^2}\); \(f''\left(x\right)=-\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{\left(-1\right)^{2-1}.2!}{x^{2+1}}\) ; 

\(f^{\left(3\right)}\left(x\right)=\dfrac{6}{x^4}=\dfrac{\left(-1\right)^{3-1}.3!}{x^{3+1}}\)

\(\Rightarrow f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}.n!}{x^{n+1}}\)

a) \(x^3+2x^2y+xy^2-9x\)

\(=x\left(x^2+2xy+y^2-9\right)\)

\(=x\left[\left(x+y\right)^2-3^2\right]=x\left(x+y+3\right)\left(x+y-3\right)\)

b) \(2x-2y-x^2+2xy-y^2\)

\(=2\left(x-y\right)-\left(x-y\right)^2=\left(x-y\right)\left(2-x+y\right)\)

c) \(x^2-2x-4y^2-4y\)

\(=\left(x^2-4y^2\right)-\left(2x+4y\right)\)

\(=\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)-2\left(x+2y\right)\)

\(=\left(x+2y\right)\left(x-2y-2\right)\)

a) ta có : \(\left(y\right)'=\left(x^4-3x^3+\sqrt{\dfrac{x-3}{4}}\right)'=\left(x^4-3x^3+\left(\dfrac{x-3}{4}\right)^{0,5}\right)'\)

\(=\left(x^4\right)'-\left(3x^3\right)'+\left(\left(\dfrac{x-3}{4}\right)^{0,5}\right)'=4x^3-9x^2+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-3}{4}\right)^{-0,5}\)

\(=4x^3-9x^2+\dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{x-3}{4}}}\)

câu b với câu c ; mk o hiểu cái đề

Lời giải:

Tìm đạo hàm theo biến $y$, bạn chỉ cần coi $x$ là một tham số rồi sử dụng công thức như bình thường thôi.

\(f(y)=y.e^{xy}.\sin y\)

\(\Rightarrow f'(y)=(y.e^{xy})'\sin y+y.e^{xy}(\sin y)'\)

\(=[y'.e^{xy}+y(e^{xy})']\sin y+y.e^{xy}.\cos y\)

\(=(e^{xy}+yxe^{xy})\sin y+y.e^{xy}\cos y\)

----------------------------------

Tính đạo hàm cấp 2.

Theo biến $x$

\(f(x)=e^{xy}\sin y\)

\(\Rightarrow f'(x)=\sin y(e^{xy})'=\sin y.ye^{xy}\)

\(\Rightarrow f''(x)=(y\sin y.e^{xy})'=y\sin y(e^{xy})'=y^2\sin y.e^{xy}\)

Theo biến $y$

\(f(y)=e^{xy}.\sin y\)

\(\Rightarrow f'(y)=(e^{xy})'\sin y+(\sin y)'e^{xy}\)

\(=x.e^{xy}\sin y+\cos y.e^{xy}\)

\(\Rightarrow f''(y)=(xe^{xy}.\sin y+\cos y.e^{xy})'\)

\(=(x.e^{xy}\sin y)'+(\cos y.e^{xy})'\)

\(=(x.e^{xy})'\sin y+(\sin y)'.xe^{xy}+(\cos y)'e^{xy}+\cos y(e^{xy})'\)

\(=x^2e^{xy}.\sin y+\cos y.x.e^{xy}-\sin y.e^{xy}+x\cos y.e^{xy}\)

Lời giải:

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2.

a)

Để hàm \(f(x)=4x^2-(m+2)x+2m-3>0\forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \Delta=(m+2)^2-16(2m-3)<0\)

\(\Leftrightarrow m^2-28m+52=(m-2)(m-26)<0\)

\(\Leftrightarrow 2< m<26\)

b)

Nếu \(m=-1\rightarrow f(x)=-6x\) không thể âm với mọi $x$

Nếu \(m\neq -1\):

Để \(f(x)=(m+1)x^2+2(2m-1)x-m-1<0\forall x\in\mathbb{R}\) thì cần hai đk sau:

1. \(m+1<0\leftrightarrow m<-1\)

2. \(\Delta'=(2m-1)^2+(m+1)^2<0\) (hiển nhiên vô lý)

Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn.

y=xsin3x

y'=x'.sin3x+x.(sin3x)' = sin3x + x.(3x)'.cos3x = sin3x + 3xcos3x

suy ra ;y'=sin3x + 3xcos3x

y'' = (sin3x)' + (3xcos3x)' = (3x)'cos3x + 3.[x'.cos3x + x.(cos3x)']

= 3cos3x + 3[cos3x -x.(3x)'.sin3x] = 3cos3x + 3cos3x -9xsin3x

suy ra y''=6cos3x -9xsin3x..... ok. rán học công thức đi nha

8506209711. 10²¹

8506209711.10²¹(3X+2)²

a. Ta có \(f'\left(x\right)=\ln x+x.\frac{1}{x}+\ln x\)

              \(f"\left(x\right)=\frac{1}{x}\)

              \(f'''\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}\)

              \(f^{\left(4\right)}\left(x\right)=\frac{2}{x^3}\)

b. Tương tự ta có : 

\(f^{\left(5\right)}\left(x\right)=-\frac{2.3}{x^4}\)

\(f^{\left(6\right)}\left(x\right)=\frac{2.3.4}{x^5}\)

Từ đó suy ra \(f^{\left(5\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^n\frac{\left(n-2\right)!}{x^{n-1}}\) với \(n\ge2\)

Thật vậy, ta sẽ thấy công thức đúng khi n=2,3,4,......