Bài 6: Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

ĐKXĐ: \(-\dfrac{1}{3}\le x\le6\)

\(\left(\sqrt{3x+1}-4\right)+\left(1-\sqrt{6-x}\right)+\left(3x^2-14x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x-5\right)}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{x-5}{1+\sqrt{6-x}}+\left(x-5\right)\left(3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-5=0\) (do \(\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1>0;\forall x\))

\(\Rightarrow x=5\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+1>=0\\6-x>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=-\dfrac{1}{3}\\x< =6\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0\)

=>\(\sqrt{3x+1}-4+1-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-5=0\)

=>\(\dfrac{3x+1-16}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1-6+x}{1+\sqrt{6-x}}+3x^2-15x+x-5=0\)

=>\(\dfrac{3\cdot\left(x-5\right)}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+\left(x-5\right)\left(3x+1\right)=0\)

=>\(\left(x-5\right)\left(\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right)=0\)

=>x-5=0

=>x=5(nhận)

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;-1\right\}\)

\(P=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x+1}\right):\dfrac{x}{x^2+x}\)

\(=\dfrac{x+1+x^2}{x\left(x+1\right)}\cdot\dfrac{x^2+x}{x}\)

\(=\dfrac{x^2+x+1}{x}\)

b: \(P=\dfrac{x^2+x+1}{x}\)

\(=x+1+\dfrac{1}{x}\)

Ta có: \(x+\dfrac{1}{x}>=2\cdot\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2\forall x>0\)

=>\(P=x+\dfrac{1}{x}+1>=2\cdot\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}+2=3\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\x>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{1;-1\right\}\\x>0\end{matrix}\right.\)

=>x=1

a.

\(A=\left|x-3\right|+\left|x-4\right|+\left|x-7\right|\)

\(A=\left|x-3\right|+\left|7-x\right|+\left|x-4\right|\)

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối:

\(A\ge\left|x-3+7-x\right|+\left|x-4\right|\)

\(\Rightarrow A\ge4+\left|x-4\right|\ge4\)

\(\Rightarrow A_{min}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(7-x\right)\ge0\\x-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=4\)

Câu b đã giải bên dưới

\(\left(\dfrac{4}{\sqrt{5}+1}-\dfrac{4}{\sqrt{5}-1}\right):\sqrt{3+2\sqrt{2}}\)

\(=\left(\dfrac{4\left(\sqrt{5}-1\right)-4\left(\sqrt{5}+1\right)}{4}\right):\left(\sqrt{2}+1\right)\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{5}-1-\sqrt{5}-1\right)}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{-2}{\sqrt{2}+1}=-2\left(\sqrt{2}-1\right)=-2\sqrt{2}+2\)

ĐKXĐ: x>=1

\(PT\Leftrightarrow8\sqrt{x-1}+7\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=46\)

=>\(14\sqrt{x-1}=46\)

=>\(\sqrt{x-1}=\dfrac{23}{7}\)

=>\(x-1=\dfrac{529}{49}\)

=>\(x=\dfrac{578}{49}\)

2\(\sqrt{1\text{6}x-1\text{6}}\)+\(\sqrt{49x-49}\)-\(\sqrt{x-1}\)=46

<=>2.4.4\(\sqrt{x-1}\)+7.7\(\sqrt{x-1}\)-\(\sqrt{x-1}\)=46

<=> 32\(\sqrt{x-1}\)+49\(\sqrt{x-1}\)-\(\sqrt{x-1}\)=46

<=> (32+49-1)\(\sqrt{x-1}\)=46

<=> 80\(\sqrt{x-1}\)=46

<=> \(\sqrt{x-1}\)=\(\dfrac{23}{40}\)

<=> x-1=\(\dfrac{529}{1\text{6}00}\)

<=> x=\(\dfrac{2159}{1\text{6}00}\)

<=>x=1,35

help

Câu 4:

1: Gọi AB là chiều cao của tháp; D,C lần lượt là điểm mà anh trên tháp thấy xe máy đang chạy.

Theo đề, ta có: AB=100m; AB\(\perp\)DB tại B; \(\widehat{ADB}=30^0;\widehat{ACB}=60^0\)

Xét ΔABD vuông tại B có \(sinD=\dfrac{AB}{AD}\)

=>\(\dfrac{100}{AD}=sin30=\dfrac{1}{2}\)

=>\(AD=200\left(m\right)\)

Ta có: ΔABD vuông tại B

=>\(BA^2+BD^2=AD^2\)

=>\(BD^2=200^2-100^2=30000\)

=>\(BD=100\sqrt{3}\left(m\right)\)

Ta có: \(\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(\widehat{ACD}=180^0-60^0=120^0\)

Xét ΔCAD có \(\widehat{D}+\widehat{ACD}+\widehat{CAD}=180^0\)

=>\(\widehat{CAD}+120^0+30^0=180^0\)

=>\(\widehat{CAD}=30^0\)

Xét ΔCAD có \(\dfrac{AD}{sinACD}=\dfrac{DC}{sinDAC}\)

=>\(\dfrac{200}{sin120}=\dfrac{DC}{sin30}\)

=>\(DC=\dfrac{200\sqrt{3}}{3}\left(m\right)\)

=>Sau 6 phút thì xe máy đi được quãng đường là \(\dfrac{200\sqrt{3}}{3}\left(m\right)\)

Vận tốc của xe máy là: \(\dfrac{200\sqrt{3}}{3}:6=\dfrac{200\sqrt{3}}{18}=\dfrac{100\sqrt{3}}{9}\left(\dfrac{m}{p}\right)\)

Thời gian xe máy đến chân tháp là:

\(100\sqrt{3}:\dfrac{100\sqrt{3}}{9}=9\left(phút\right)\)

2:

a: ΔDAC vuông tại D

=>\(AC^2=DA^2+DC^2\)

=>\(AC^2=6^2+8^2=100\)

=>\(AC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔDAC vuông tại D có DH là đường cao

nên \(DH\cdot AC=DA\cdot DC\)

=>\(DH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>DH=48/10=4,8(cm)

Xét ΔADC vuông tại D có \(sinACD=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{ACD}\simeq36^052'\)

b: Xét ΔDAC vuông tại D có DH là đường cao

nên \(AH\cdot AC=AD^2;CH\cdot CA=CD^2\)

=>\(\dfrac{AH\cdot AC}{CH\cdot AC}=\dfrac{AD^2}{CD^2}\)

=>\(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BC^2}{AB^2}=\left(\dfrac{BC}{AB}\right)^2\)

c: Gọi K là trung điểm của DH

Xét ΔHAD có

F,K lần lượt là trung điểm của HA,HD

=>FK là đường trung bình của ΔHAD

=>FK//AD và \(FK=\dfrac{AD}{2}\)

ta có: FK//AD

AD\(\perp\)DC

Do đó: FK\(\perp\)DC

Xét ΔFDC có

FK,DH là các đường cao

FK cắt DH tại K

Do đó: K là trực tâm của ΔFDC

=>FK\(\perp\)DC

Ta có: FK//AD

BC//AD

Do đó: FK//BC

Ta có: \(FK=\dfrac{AD}{2}\)

\(CE=\dfrac{CB}{2}\)

mà AD=CB

nên FK=CE

Xét tứ giác FKCE có

FK//CE

FK=CE

Do đó: FKCE là hình bình hành

=>CK//FE

Ta có: CK//FE

CK\(\perp\)FD

Do đó: FE\(\perp\)FD

\(\sqrt{x+2}+\sqrt{9x+18}=\sqrt{4x+8+6}\)

\(\sqrt{x+2}+\sqrt{9\left(x+2\right)}=\sqrt{4x+14}\) \(\left(Đk:x\ge-2\right)\)

\(4\sqrt{x+2}=\sqrt{4x+14}\)

\(16\left(x+2\right)=4x+14\)

\(12x=-18\)

\(x=-\dfrac{3}{2}\left(TM\right)\)

Vậy \(S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}\)

\(\Leftrightarrow1-3x=4\)

\(\Leftrightarrow3x=-3\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

c)

\(=5\sqrt{3x}-4.\sqrt{4.3x}+5\sqrt{9.3x}+26\\ =5\sqrt{3x}-8\sqrt{3x}+15\sqrt{3x}+26\\= \left(5-8+15\right)\sqrt{3x}+26\\ =12\sqrt{3x}+26\)

d)

\(\dfrac{1}{xy}\sqrt{x^4y^3}\\ =\dfrac{1}{xy}\sqrt{\left(x^2\right)^2.y^2.y}\\ =\dfrac{1}{xy}x^2.y.\sqrt{y}\\ =\dfrac{x.y.x.\sqrt{y}}{xy}\\ =x\sqrt{y}\)

e)

\(8\sqrt{x^3y^2}-3y\sqrt{x^3}\\ =8\sqrt{x^2.x.y^2}-3y\sqrt{x^2.x}\\ =8xy\sqrt{x}-3xy\sqrt{x}\\ =\left(8xy-3xy\right)\sqrt{x}\\ =5xy\sqrt{x}\)