Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Luyện tập

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2-2mx\\x+2m\left(2-2mx\right)=4-4m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2-2mx\\x+4m-4m^2x-4+4m=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2-2mx\\x\left(1-4m^2\right)=-8m+4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-2mx+2\\x\left(2m-1\right)\left(2m+1\right)=4\left(2m-1\right)\end{matrix}\right.\)

Nếu m=1/2 thì hệ có vô số nghiệm

Nếu m=-1/2 thì hệ vô nghiệm

Nếu m<>1/2; m<>-1/2 thì hệ có nghiệm duy nhất là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4}{2m+1}\\y=-2m\cdot\dfrac{4}{2m+1}+2=\dfrac{-8m+4m+2}{2m+1}=\dfrac{-4m+2}{2m+1}\end{matrix}\right.\)
Để x,y nguyên thì \(\left\{{}\begin{matrix}2m+1\inƯ\left(4\right)\\-4m-2+4⋮2m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2m+1\inƯ\left(4\right)\)

mà m nguyên

nên \(2m+1\in\left\{1;-1\right\}\)

=>\(m\in\left\{0;-1\right\}\)

b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-1}{2}x+3=\dfrac{-1}{2}x+1\\y=-\dfrac{1}{2}x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(x,y\right)\in\varnothing\)

d: =>3x-y=3 và 3x-y=3

=>\(\left(x,y\right)\in R\)

Gọi số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là \(x\) (sản phẩm)

Theo kế hoạch mỗi ngày cần làm số sản phẩm là \(\dfrac{x}{7}\) (sản phẩm)

Trên thực tế mỗi ngày làm được là \(\dfrac{x}{7}+4\) (sản phẩm)

Tổng số sản phẩm trên thực tế là \(5\left(\dfrac{x}{7}+4\right)\)

Ta có phương trình: \(5\left(\dfrac{x}{7}+4\right)=x+2\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{7}x+20=x+2\Rightarrow\dfrac{2}{7}x=18\Rightarrow x=63\) (sản phẩm)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5}-\sqrt{3x}=8+2\sqrt{15}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x}=\sqrt{5}-8-2\sqrt{15}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\left(\sqrt{5}-8-2\sqrt{15}\right)^2}{3}\)

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-4y=2\\10x+4y=28\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}13x=30\\3x-4y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{30}{13}\\4y=3x-2=\dfrac{90}{13}-2=\dfrac{54}{26}=\dfrac{27}{13}\end{matrix}\right.\)

=>x=30/13 và y=27/52

b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-10y=8\\2x-10y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=3\\2x-10y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{4}\\10y=2x-5=\dfrac{3}{2}-5=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

=>x=3/4 và y=-7/20

`{(3x-4y=2), (5x+2y=14):}`

`<=> {(x=30/13), (y=16/13):}`

`{(3x-5y=4), (2x-10y=5):}`

`<=> {(x = 3/4), (y = -7/20):}`

Do (d) và (P) cắt nhau, áp dụng phương trình hoành độ giao điểm:

     \(x^2=(m-3)x+3m+2\)

\(⇔x^2-(m-3)x-3m-2=0\)

\(△= (m-3)^2-4(-3m-2)\)

    \(=m^2+6m+17\)

    \(=(m+3)^2+8>0\) với mọi m

Vậy (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

\(\begin{cases} x_{1}+x_{2}=m-3\\ x_{1}x_{2}=-3m-2 \end{cases}\)

Để (d) và (P) luôn cắt chau tại hai điểm có hoành độ âm:

\(\begin{cases} x_{1}+x_{2}<0\\ x_{1}x_{2}<0 \end{cases}\)\(⇔\begin{cases} m-3<0\\ -3m-2<0 \end{cases}\)\(⇔\begin{cases} m<3\\ m>\dfrac{2}{3} \end{cases}\)

Vậy để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm có hoành độ âm thì \(\dfrac{2}{3} < m <3\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+y^2-2y+1=3-y^2\\2x^2+2x+2y^2-3y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+2y^2-2y=2\\2x^2+2y^2+2x-3y=4\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(2x-y=2\Rightarrow y=2x-2\)

Thế vào \(2x^2+2y^2-2y=2\Leftrightarrow x^2+y^2-y=1\) ta được:

\(x^2+\left(2x-2\right)^2-\left(2x-2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow5x^2-10x+5=0\Rightarrow x=1\)

\(\Rightarrow y=0\)

Vậy nghiệm của hệ là: \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)