Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

1. Phương pháp cộng đại số

- Phương pháp cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.

- Các bước giải:

+) Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

+) Bước 2: Dùng phương trình mới thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên phương trình kia.

Ví dụ 1: Xét hệ phương trình \(\left(I\right):\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\)

+ Bước 1: Cộng từng vế hai phương trình của \(\left(I\right)\), ta được phương trình mới: 

\(\left(2x-y\right)+\left(x+y\right)=1+2\Leftrightarrow3x=3\)

+ Bước 2: Dùng phương trình mới thay thế cho phương trình thứ nhất, ta được hệ \(\left\{{}\begin{matrix}3x=3\\x+y=2\end{matrix}\right.\) hoặc thay thế cho phương trình thứ hai, ta được hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\3x=3\end{matrix}\right.\).

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình \(\left(II\right):\left\{{}\begin{matrix}2x+2y=9\\2x-3y=4\end{matrix}\right.\)

+ Bước 1: Trừ từng vế hai phương trình của \(\left(II\right)\), ta được phương trình mới:

\(\left(2x+2y\right)-\left(2x-3y\right)=9-4\Leftrightarrow5y=5\)

+ Bước 2: Dùng phương trình mới thay thế cho phương trình thứ nhất, ta được hệ \(\left\{{}\begin{matrix}5y=5\\2x-3y=4\end{matrix}\right.\) hoặc thay thế cho phương trình thứ hai, ta được hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+2y=9\\5x=5\end{matrix}\right.\).

- Nhận xét: Phương pháp cộng đại số có thể giúp ta thu được một phương trình một ẩn, từ đó việc giải hệ phương trình sẽ trở nên dễ dàng. Tuy nhiên không phải lúc nào phương pháp cộng đại số cũng có hiệu quả ngay lập tức. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 3: Xét hệ phương trình \(\left(III\right):\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=7\\2x+3y=3\end{matrix}\right.\)

Nếu cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta thu được: \(5x+5y=10\).

Nếu trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta thu được: \(x-y=4\).

Đây đều là các phương trình hai ẩn, không phải phương trình một ẩn như mục đích ta muốn có.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

- Từ việc xét các ví dụ trên, dễ thấy: không phải lúc nào ta cũng có thể dùng ngay phương pháp cộng đại số để thu được một phương trình một ẩn. 

Trường hợp 1: (Các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau)

Ta áp dụng ngay phương pháp cộng đại số để thu được phương trình mới, từ đó giải hệ phương trình đã cho.

Ta quay lại các ví dụ 1 và 2:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình \(\left(I\right):\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\)

Nhận xét: Hệ số của \(y\) trong hai phương trình đối nhau. Do đó ta có thể dùng ngay phương pháp cộng đại số và thu được:

\(\left(I\right)\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}3x=3\\x+y=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2-x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ \(\left(I\right)\) có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\).

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình \(\left(II\right):\left\{{}\begin{matrix}2x+2y=9\\2x-3y=4\end{matrix}\right.\)

Nhận xét: Hệ số của \(x\) trong hai phương trình bằng nhau. Do đó ta có thể dùng ngay phương pháp cộng đại số và thu được:

\(\left(II\right)\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}5y=5\\2x-3y=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=\dfrac{3}{2}y+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ \(\left(II\right)\) có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{7}{2};1\right)\).

Trường hợp 2: (Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau và không đối nhau)

+) Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+) Bước 2: Áp dụng phương pháp cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình là phương trình một ẩn.

+) Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Ta quay lại ví dụ 3: Giải hệ phương trình \(\left(III\right):\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=7\\2x+3y=3\end{matrix}\right.\)

+ Bước 1: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được: \(\left(III\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x+4y=14\\6x+9y=9\end{matrix}\right.\)

+ Bước 2: Trừ từng vế của hai phương trình, ta được: \(\left(6x+4y\right)-\left(6x+9y\right)=14-9\Leftrightarrow-5y=5\).

+ Bước 3: Thay phương trình trên vào hệ, ta có: \(\left(III\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-5y=5\\2x+3y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=-\dfrac{3}{2}y+\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ \(\left(III\right)\) có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;-1\right)\).

- Nhận xét: Muốn làm hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta thường nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với hệ số của ẩn đó trong phương trình thứ hai và ngược lại.

Ví dụ, trong hệ \(\left(III\right)\), ta cũng có thể nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2 để được: \(\left\{{}\begin{matrix}9x+6y=21\\4x+6y=6\end{matrix}\right.\). Đến đây, nhận thấy hệ số của \(y\) trong hai phương trình bằng nhau, ta áp dụng ngay được phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình.