Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Đặt \(\overrightarrow{C'N}=x.\overrightarrow{C'D'}\)

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A'D'}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{D'C'}\)

\(\overrightarrow{B'N}=\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{C'N}=\overrightarrow{A'D'}+x.\overrightarrow{C'D'}\)

\(AM\perp B'N\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{B'N}=0\)

\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{A'D'}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{C'D'}\right)\left(\overrightarrow{A'D'}+x.\overrightarrow{C'D'}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow A'D'^2-\dfrac{1}{3}x.C'D'^2=0\) (do \(A'D'\perp C'D'\Rightarrow\overrightarrow{A'D'}.\overrightarrow{C'D'}=0\))

\(\Rightarrow4-\dfrac{4}{3}x=0\Rightarrow x=3\)

Vậy N là điểm trên C'D' thỏa mãn \(\overrightarrow{C'N}=3\overrightarrow{C'D'}\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\)

\(\Rightarrow\Delta SBC\) vuông tại B

b. \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp BD\\BD\perp SC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{ABD}\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

\(\Rightarrow AD=AB.tan\widehat{ABD}=AB.\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a}{2}\)

c. Theo c/m câu a ta có \(BC\perp\left(SAB\right)\), mà \(AD||BC\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow AD\perp BM\)

Mà \(BM\perp DE\) (do DE là đường cao ứng với BM)

\(\Rightarrow BM\perp\left(ADE\right)\Rightarrow BM\perp AE\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM:

\(AE=\dfrac{AM.AB}{\sqrt{AM^2+AB^2}}=\dfrac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}\)

Pitago tam giác vuông ADE:

\(DE^2=AE^2+AD^2=\dfrac{a^2x^2}{a^2+x^2}+\dfrac{a^2}{4}\)

Do \(AD=\dfrac{a}{2}\) không đổi nên DE max, min tương ứng khi AE max, min

Hiển nhiên \(AE\ge0\Rightarrow AE_{min}=0\) khi \(x=0\) khi đó DE min

\(AE^2=\dfrac{a^2x^2}{a^2+x^2}\le\dfrac{a^2x^2}{2ax}=\dfrac{ax}{2}\le\dfrac{a^2}{2}\)

\(\Rightarrow AE_{max}\) khi \(x=3\)

7:

Gọi M la trung điểm của AC

Xét ΔADC co AF/AD=AM/AC

nên FM//DC và FM=1/2DC=a

Xét ΔCAB co CM/CA=CE/CB

nên EM//AB và EM=1/2AB=a

\(cos\left(AB;CD\right)=\left|cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)\right|=\left|cos\left(\overrightarrow{ME};\overrightarrow{MF}\right)\right|\)

\(=\left|cosFME\right|\)

\(=\left|\dfrac{MF^2+ME^2-FE^2}{2\cdot MF\cdot ME}\right|=\left|\dfrac{a^2+a^2-3a^2}{2\cdot a\cdot a}\right|=\dfrac{1}{2}\)

=>cos(AB;CD)=60 độ

bạn ơi bạn làm đc phần nào rồi ? 

1: CB vuông góc AB

SA vuông góc BC

=>BC vuông góc (SAB)

=>BC vuông góc SB

=>ΔSBC vuông tại B

b: BC vuông góc AH

SB vuông góc AH

=>AH vuông góc (SBC)

=>AH vuông góc HK

=>ΔAHK vuông tại H

a: Gọi E là trung điểm của AB

ΔABC đều nên CE vuông góc AB

ΔABD đều nên DE vuông góc AB

=>AB vuông góc (CDE)

=>AB vuông góc CD

b: Xét ΔCAB có CN/CB=CM/CA

nên MN//AB và MN=1/2AB

Xét ΔDAB có DQ/DA=DP/DB

nên PQ//AB và PQ/AB=DQ/DA=1/2

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔADC có AQ/AD=AM/AC

nên QM//DC

=>QM vuông góc AB

=>QM vuông góc QP

=>MNPQ là hình chữ nhật

38.

\(y'=2x^2-8x+9=2\left(x-2\right)^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng 1 khi \(x_0-2=0\Rightarrow x_0=2\)

\(y\left(2\right)=-\dfrac{11}{3}\)

Phương trình d:

\(y=1\left(x-2\right)-\dfrac{11}{3}=x-\dfrac{17}{3}\)

Thay tọa độ 4 điểm của đáp án, chỉ có \(P\left(5;-\dfrac{2}{3}\right)\) thỏa mãn

39.

Gọi E là trung điểm AB, F là trung điểm CD

Từ E kẻ EH vuông góc SF (H thuộc SF)

Do tam giác SAB đều \(\Rightarrow SE\perp AB\Rightarrow SE\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow SE\perp CD\)

\(EF||AD\Rightarrow EF\perp CD\)

\(\Rightarrow CD\perp\left(SEF\right)\) \(\Rightarrow CD\perp EH\)

\(\Rightarrow EH\perp\left(SCD\right)\Rightarrow EH=d\left(E;\left(SCD\right)\right)\)

Lai có: \(AB||CD\Rightarrow AB||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(E;\left(SCD\right)\right)=EH\)

\(SE=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; \(EF=AD=1\)

Hệ thức lượng: \(d=HE=\dfrac{SE.EF}{\sqrt{SE^2+EF^2}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)

Hình vẽ câu 39:

\(\lim\limits_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{2x-6}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2-9}{2\left(x-3\right)\left(\sqrt{x^2+7}+4\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{2\left(x-3\right)\left(\sqrt{x^2+7}+4\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x+3}{2\left(\sqrt{x^2+7}+4\right)}\)

\(=\dfrac{6}{2\left(4+4\right)}=\dfrac{3}{8}\)

\(f\left(3\right)=1-2m\)

Hàm liên tục trên R khi: 

\(1-2m=\dfrac{3}{8}\Rightarrow m=\dfrac{5}{16}\in\left(0;1\right)\)

24.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

25.

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SAO}\) là góc giữa SA và (ABC)

\(AO=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{SAO}=\dfrac{AO}{SA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{SAO}=60^0\)

26.

\(dy=y'dx=\left(x^2\right)'dx=2xdx\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\AD\perp CD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp SD\) (A đúng)

\(AC\perp BD\) theo tính chất của hình vuông (2 đường chéo vuông góc) (B đúng)

\(SA\perp CD\) theo cmt (C đúng)

Do đó D sai