Question

Xác định đa thức P(x) biết P(x) chia cho \(\left(x-2\right)\) thì dư 1, chia cho \(\left(x+1\right)\) thì dư 2, chia cho \(\left(x^2-x-2\right)\) thì được thương \(\left(2x-1\right)\) và còn dư

Answer 1

\(P\left(x\right)=\left(x-2\right)Q\left(x\right)+1\) \(\Rightarrow P\left(2\right)=1\)

\(P\left(x\right)=\left(x+1\right).R\left(x\right)+2\Rightarrow P\left(-1\right)=2\)

\(P\left(x\right)=\left(x^2-x-2\right)\left(2x-1\right)+ax+b\) (1)

Thay \(x=2\) vào (1): \(P\left(2\right)=2a+b\Rightarrow2a+b=1\)

Thay \(x=-1\) vào (1): \(P\left(-1\right)=-a+b\Rightarrow-a+b=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+b=1\\-a+b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{1}{3}\\b=\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x^2-x-2\right)\left(2x-1\right)-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)