Không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Ta có
\(\sqrt{a^2+bc}\le\dfrac{1}{2}\left(a+c+\dfrac{a^2+bc}{a+c}\right)\) \(;\sqrt{b^2+ac}\le\dfrac{1}{2}\left(b+c+\dfrac{b^2+ac}{b+c}\right)\)
\(\sqrt{c^2+ab}\le\dfrac{1}{2}\left(b+c+\dfrac{c^2+ab}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(a+2b+3c+\dfrac{a^2+bc}{a+c}+\dfrac{ab+ac+b^2+c^2}{b+c}\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(2a+2b+3c+\dfrac{a^2+bc}{a+c}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\right)\)
Ta sẽ chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2}\left(2a+2b+3c+\dfrac{a^2+bc}{a+c}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\right)\le\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+bc}{a+c}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\le a+b\)
Hiển nhiên rằng \(\dfrac{a^2+bc}{a+c}\le a\)
\(\Leftrightarrow a^2+bc\le a^2+ac\Leftrightarrow a\ge b\) ( đúng với giả sử )
Chứng minh tương tự ta có \(\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\le b\Leftrightarrow b^2+c^2\le b^2+bc\Leftrightarrow c\le b\) ( đúng vời giả sử )
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+bc}{a+c}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}\le a+b\left(đpcm\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)