Tuyển Cộng tác viên Hoc24 nhiệm kì 26 tại đây: https://forms.gle/dK3zGK3LHFrgvTkJ6
ta có \(\sqrt{\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)}=\sqrt{\left(1+a\right)\left(a^2-a+1\right)}.\sqrt{\left(1+b\right)\left(b^2-b+1\right)}\)
Mà \(\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\le\dfrac{a+1+a^2-a+2}{2}=\dfrac{a^2+2}{2}\)
Tương tự thì \(\sqrt{\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)}\le\dfrac{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}{4}\Rightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(1+a^3\right)\left(1+B^3\right)}}\ge\dfrac{4a^2}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\)
=\(\dfrac{4a^2\left(c^2+2\right)}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)}\)
Tương tự rồi + vào, ta có
...\(\ge4\dfrac{a^2\left(c^2+2\right)+b^2\left(a^2+2\right)+c^2\left(b^2+2\right)}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)}\)
ta cần chứng minh \(3\left[a^2\left(c^2+2\right)+b^2\left(a^2+2\right)+c^2\left(b^2+2\right)\right]\ge\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\)
đến đây nhân tung ra và dùng cô-si tiếp
cho các số thực dương a,b thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)
Chứng minh rằng \(3\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+4ab\ge\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\)
cho a,b,c >0 ; \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=2\)
Tinnsh \(A=a\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}+b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+c^2}}\)
1/ cho a,b,c thỏa \(ab+bc+ca\ge11\)
c/m \(\sqrt[3]{a^2+3}+\dfrac{7}{5\sqrt[3]{14}}\sqrt[3]{b^2+3}+\dfrac{\sqrt[3]{9}}{5}\sqrt[3]{c^2+3}\ge\dfrac{23}{5\sqrt[3]{2}}\)
2)cho a,b,c dương thỏa a+b+c=3
c/m \(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2-b^2\right)\left(b^2-c^2\right)\left(c^2-a^2\right)\le\dfrac{729\sqrt{3}}{8}\)
p/s: cách của mik đa phần dùng cô-si (I need another way!!)
1, cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}+\frac{2b+c}{b\left(b+2c\right)}+\frac{2c+a}{c\left(a+2c\right)}\)
2,cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8 chứng minh rằng \(1\le x\le\frac{7}{3}\)
3, cho a,b,c>0 chứng minh rằng\(\frac{a^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{b^2}{2b^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{c^2}{2c^2+\left(b+a-c\right)^2}\le1\)
4,cho a,b,c là các số thực bất kỳ chứng minh rằng \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\left(ab+bc+ac-1\right)^2\)
5, cho a,b,c > 1 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)chứng minh rằng \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{a+b+c}\)
Chứng minh rằng:
a> \(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\) với a,b,c,d >0
b> \(\dfrac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}>2\)
Cho a,b,c > 0 thỏa abc=1.Chứng minh :
\(P=\dfrac{1}{\sqrt{a\left(1+b\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{b\left(1+c\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{c\left(1+a\right)}}>2\)
giải phương trình:
a,\(\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}\)
b,CM:\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)
Cho \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\) . Chứng minh \(\dfrac{\sqrt{a}}{1+a}+\dfrac{\sqrt{b}}{1+b}+\dfrac{\sqrt{c}}{1+c}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
