Question

Bài 1: Cho a,b>0; \(a^2+b^2\le16.\)Tìm GTLN của M= \(a\sqrt{9b\left(a+8b\right)}+b\sqrt{9a\left(b+8a\right)}\)

Bài 2: Cho a,b,c >\(\dfrac{25}{4}\). Tìm GTNN của P=\(\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+\dfrac{b}{2\sqrt{c}-5}+\dfrac{c}{2\sqrt{a}-5}\)

Bài 3: Cho a,b,b >0 và ab+bc+ca =1. Chứng minh:

\(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\le2\left(a+b+c\right)\)

Bài 4: Cho 2 số thực a,b thay đổi, thỏa mãn điều kiện a+b\(\ge1\) và a>0. Tìm GTNN của A= \(\dfrac{8a^2+b}{4a}+b^2\)

Bài 5: Cho x,y thỏa mãn điều kiện \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3.\) Tìm GTNN của A= \(x^2+2xy-2y^2+2y+10\)

Bài 6: Với mọi a>1, chứng minh:

a+\(\dfrac{1}{a-1}\ge3\)

Answer 1

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(M^2=(a\sqrt{9b(a+8b)}+b\sqrt{9a(b+8a)})^2\)

\(\leq (a^2+b^2)(9ab+72b^2+9ab+72a^2)\)

\(\Leftrightarrow M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+18ab)\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 18ab\leq 9(a^2+b^2)\)

Do đó, \(M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+9a^2+9b^2)=81(a^2+b^2)^2\)

\(\Leftrightarrow M\leq 9(a^2+b^2)\leq 144\)

Vậy \(M_{\max}=144\Leftrightarrow a=b=\sqrt{8}\)

Bài 6:

\(a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\)

Vì \(a>1\rightarrow a-1>0\). Do đó áp dụng BĐT Am-Gm cho số dương\(a-1,\frac{1}{a-1}\) ta có:

\((a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}=2\)

\(\Rightarrow a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 3\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a-1=1\Leftrightarrow a=2\)

Answer 2

Bài 3:

Xét \(\sqrt{a^2+1}\). Vì \(ab+bc+ac=1\) nên:

\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)

\(\Rightarrow \sqrt{a^2+1}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM có: \(\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a+b+a+c}{2}=\frac{2a+b+c}{2}\)

hay \(\sqrt{a^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}\)

Hoàn toàn tương tự với các biểu thức còn lại và cộng theo vế:

\(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}+\frac{2b+a+c}{2}+\frac{2c+a+b}{2}=2(a+b+c)\)

Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Bài 4:

Ta có:

\(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2\)

\(\Leftrightarrow A+\frac{1}{4}=2a+\frac{b+a}{4a}+b^2=2a+b+\frac{b+a}{4a}+b^2-b\)

Vì \(a+b\geq 1, a>0\) nên \(A+\frac{1}{4}\geq a+1+\frac{1}{4a}+b^2-b\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a+\frac{1}{4a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\Rightarrow A+\frac{1}{4}\geq 2+b^2-b=\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\geq \frac{7}{4}\)

\(\Leftrightarrow A\geq \frac{3}{2}\).

Vậy \(A_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 3

Bài 5:

Ta có : \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-\sqrt{y+2})+(x^3-y^3)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)\left(\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}+x^2+xy+y^2\right)=0\)

Ta thấy biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn $0$ , do đó \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)

Khi đó, \(A=x^2+2x+10=(x+1)^2+9\geq 9\)

Vậy \(A_{\min}=9\Leftrightarrow x=y=-1\)

Answer 4

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{a^2}{2a\sqrt{b}-5a}+\frac{b^2}{2b\sqrt{c}-5b}+\frac{c^2}{2c\sqrt{a}-5c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})-5(a+b+c)}\)

Áp dụng tiếp BĐT Cauchy-Schwarz:

\((a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})^2\leq (a+b+c)(ab+bc+ac)\Rightarrow a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ac)}\)

Theo BĐT AM-GM:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)

Do đó, \(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{3}}\)

Suy ra \(P\geq \frac{(a+b+c)^2}{2\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{3}}-5(a+b+c)}\)

Đặt \(\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}=t\) trong đó \(t>\frac{5}{2}\) do \(a,b,c>\frac{25}{4}\), khi đó, \(P\geq \frac{9t^4}{6t^3-15t^2}=\frac{3t^2}{2t-5}=\frac{3}{2}t+\frac{15}{4}+\frac{75}{8t-20}\)

\(\Leftrightarrow P\geq \frac{3}{16}(8t-20)+\frac{75}{8t-20}+\frac{15}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số không âm: \(\frac{3}{16}(8t-20)+\frac{75}{8t-20}\geq 2\sqrt{\frac{3.75}{16}}=\frac{15}{2}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{15}{2}+\frac{15}{2}=15\)

Vậy \(P_{\min}=15\Leftrightarrow a=b=c=25\)