(Tự vẽ hình)
Xét \(\Delta PCD\) và \(\Delta PFE\) có:
\(\widehat{FPC}\) chung;
\(\widehat{PDC}=\widehat{PEF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{CF}\))
\(\Rightarrow\Delta PCD\) đồng dạng với \(\Delta PFE\) (góc - góc)
\(\Rightarrow\dfrac{PC}{PD}=\dfrac{PF}{PE}\Rightarrow PF.PD=PC.PE\qquad\left(1\right)\)
Mặt khác ta lại có:
\(\widehat{CEA}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{CA}\) (tính chất góc nội tiếp);
\(\widehat{CAP}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{CA}\) (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
\(\Rightarrow\widehat{CEA}=\widehat{CAP}\) mà \(\widehat{CPA}\) chung
\(\Rightarrow\Delta PCA\) đồng dạng với \(\Delta PAE\) (góc - góc)
\(\Rightarrow\dfrac{PC}{PA}=\dfrac{PA}{PE}\Rightarrow PC.PE=PA^2=\left(2AB\right)^2=4AB^2\qquad\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(PF.PD=PC.PE=4AB^2\).