Bài 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Áp dụng kết quả bài tập 34 ta có:

MT² = MA. MB

MT² = MA.(MA + 2R)

Thay số vào đẳng thức trên và lấy đơn vị là km, ta có:

MT² = 0,04 (0,04 + 12.800)

MT ≈ 23 (km)

Cũng tương ta có;

MT² = 0,01(0,01 +12.800)

MT ≈ 11 (km)

Từ đó: MM' = MT + M'T = 23+11= 34(km)

Vậy khi ngọn hải đăng khoảng 34 km thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.

là góc tạo bởi hai tiếp tuyến BA và dây cung BC của (O). Dây BC = R suy ra = và = .

= - = - = (tổng các góc của một tứ giác bằng )

Xét hai tam giác BMT và TMA, chúng có:

chung

= (cùng chắn cung nhỏ )

nên ∆BMT ~ ∆TMA, suy ra =

hay MT² = MA. MB

Ta có là góc tạo bởi tiếp tuyến PT và dây cung PB của đường tròn (O) nên = sđ cung BP (cung nhỏ BP) (1)

Lại có = sđ cung BP (2)

(góc ở tâm và cung bị chắn có cùng số đo)

Từ (1) và (2) suy ra = 2..

Trong tam giác vuông TPO ( OP ⊥ TP vì TP là tiếp tuyến) ta có =

hay + 2. =

Theo giả thiết,

Suy ra: =

Hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ( OC ⊥ AB).

Vậy cặp cạnh kia cũng phải vuông góc, tức là OA ⊥ Ax.

Vậy Ax phải là tiếp tuyến của (O) tại A

Nối AB. Ta có: = (1)

( cùng chắn cung và có số đo bằng sđ)

= (2)

(cùng chắn cung nhỏ và có số đo bằng sđ)

TỪ (1) và (2) có = từ đó AQ // Px (có hai góc so le trong bằng nhau)

là góc tạo bởi tiếp tuyến BT và dây cung BP.

= sđ (1)

là góc nội tiếp chắn cung

= sđ (2)

Lại có = (∆OAP cân) (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra =

Ta có: (1)

( vì là góc tạo bởi một tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm A của (O')).

và (2)

góc nội tiếp của đường tròn (O') chắn cung

Từ (1), (2) suy ra

(3)

Chứng minh tương tự với đường tròn (O), ta có:

(4)

Hai tam giác ABD và ABC thỏa (3), (4) suy ra cặp góc thứ 3 của chúng bằng nhau, vậy =

Ta có = (so le trong) (1)

= (2)

( là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, chắn cung AB, là góc nội tiếp chắn cung AB)

Từ (1) và (2) suy ra:

= (3)

Xét hai tam giác AMN và ACB. chúng có:

chung

=

Vậy ∆AMN ~ ∆ACB, từ đó = , suy ra AB. AM = AC . AN