Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

1. Góc ở tâm

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Ví dụ: Góc \(\widehat{AOB}\) trong hình 1 là góc ở tâm. Các góc \(\widehat{CO'D},\widehat{EO''F}\) trong hình 2 và hình 3 không là góc ở tâm.

+) Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại 2 điểm, do đó chia đường tròn tại hai cung.

• Với các góc \(\alpha\left(0^0< \alpha< 180^0\right)\) thì cung nằm bên trong góc đó gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc gọi là cung lớn.
• Với \(\alpha=180^0\) thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

+) Cung \(AB\) được kí hiệu là \(\stackrel\frown{AB}\). 

+) Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn. Trong hình vẽ dưới đây, \(\stackrel\frown{AmB}\) là cung bị chắn bởi góc \(\widehat{AOB}\). Ta còn nói góc \(AOB\) chắn cung nhỏ \(\stackrel\frown{AmB}\). Góc bẹt \(\widehat{COD}\) là góc chắn nửa đường tròn.

2. Số đo cung

• Số đo của cung nhỏ là số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
• Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \(360^0\) và số đo cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn).
• Số đo của nửa đường tròn bằng \(180^0\).

+) Kí hiệu: Số đo cung \(AB\) là \(sđ\stackrel\frown{AB}\).

Ví dụ: Trong hình 4, cho số đo cung \(AmB\) bằng \(80^0\) thì số đo cung \(AnB\) là: 

\(sđ\stackrel\frown{AnB}=360^0-sđ\stackrel\frown{AmB}=360^0-80^0=280^0\)

+) Chú ý: Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn \(180^0\). Cung lớn có số đo lớn hơn \(180^0\).

3. So sánh hai cung

Ta chỉ so sánh hai cung trong cùng một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau.

• Hai cùng được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
• Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì được gọi là cung lớn hơn.
• Cung \(AB\) bằng cung \(CD\) kí hiệu là \(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\). Cung \(EF\) lớn hơn (nhỏ hơn) cung \(GH\) kí hiệu là \(\stackrel\frown{EF}>\stackrel\frown{GH}\left(\stackrel\frown{EF}< \stackrel\frown{GH}\right)\).

4. Khi nào \(sđ\stackrel\frown{AB}=sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CB}\)?

Cho \(C\) là một điểm nằm trên cung \(AB\). Khi đó: điểm \(C\) chia cung \(AB\) thành hai cung \(AC,CB\).

Định lí: Nếu \(C\) là một điểm nằm trên cung \(AB\) thì \(sđ\stackrel\frown{AB}=sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CB}\).

Ta dễ dàng chứng minh định lí trên trong trường hợp \(C\) nằm trên cung nhỏ \(AB\) (hình 6):

Ta có: \(sđ\stackrel\frown{AC}=\widehat{AOC}\); \(sđ\stackrel\frown{CB}=\widehat{COB}\); \(sđ\widehat{AB}=\widehat{AOB}\)

Do \(C\) nằm trên cung \(AB\) nên \(OC\) nằm trong góc \(AOB\)

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOC}+\widehat{COB}\\ \Rightarrow sđ\stackrel\frown{AB}=sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CB}\)

Chú ý: Trong hình 7: Điểm \(C\) nằm trên cung lớn \(AB\). Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp này.