Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

C = x^{2 _} 4xy + 5y^{2 _} 24y + 28

Answer 1

C=\(x^2\)-4xy+5\(y^2-24y+28\)

C=\(x^2-4xy+4y^2+y^2-24y+28\)

C=\(\left(x-2y\right)^2+y^2-12.2.y+144-144+28\)

C=\(\left(x-2y\right)^2+\left(y-12\right)^2-116\)

Vì \(\left(x-2y\right)^2\)≥ 0 với mọi x, y

\(\left(y-12\right)^2\) ≥0 với mọi y

⇒\(\left(x-2y\right)^2+\left(y-12\right)^2\)≥0 với mọi x,y

do đó \(\left(x-2y\right)^2+\left(y-12\right)^2-116\)≥ -166 với mọi x,y

⇔C≥-166 với mọi x,y.

Dấu "=" xảy ra khi

* ​\(\left(x-2y\right)^2\)=0

*\(\left(y-12\right)^2\)=0

⇔​\(\begin{matrix}x-2y=0\\y-12=0\end{matrix}\)⇔y=12⇒x=24

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -166 khi x=24, y=12