Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(A=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+54\)

Answer 1

ta có:

A=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+54

=(x^2-2xy+y^2)-12x+12y+36+5y^2-10y+18

=(x-y)^2-(12x-12y)+6^2+5y^2-10y+5+13

=(x-y)^2-2*6*(x-y)+6^2+5(y^2-2y+1)+13

=(x-y-6)^2+5(y-1)^2+13

Vì (x-y-6)^2 \(\ge\)0 với \(\forall\)x,y

5(y-1)^2\(\ge\)0 với \(\forall\)y

=> A=(x-y-6)^2+5(y-1)^2+13\(\ge\)13với \(\forall\)x,y

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y-6=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=7\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy Gía trị nhỏ nhất của A là 13 khi x=7,y=1

nHỚ TICK