Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n,n-1,n+1
ta có : (n-1)3+n3+(n+1)3
= n3-3n2+3n-1 + n3+n3+3n2+3n+1
= 3n3+6n
= 3n3-3n+9n
= 3(n3-n)+9n
= 3n(n-1)(n+1) +9n
Có n(n-1)(n+1) chia hết cho 3
\(\Rightarrow\) 3n(n-1)(n+1) chia hết cho 9
\(\Rightarrow\) 3n(n-1)(n+1) +9n chia hết cho 9
\(\Rightarrowđpcm\)
Gọi ba số nguyên liên tiếp lần lượt là \(\left(a-1\right),a,\left(a+1\right)\)
Chứng minh \(\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3⋮9\)
\(\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3\)
\(=\left(a^3-3a^2+3a-1\right)+a^3+\left(a^3+3a^2+3a+1\right)\)
\(=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1\)
\(=3a^3+6a\)
\(=3a\left(a^2+2\right)\)
\(=3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a\)
Vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 nên \(=3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮9\)
Mặt khác \(9a⋮9\)
\(\Rightarrow3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a⋮9\)
\(\Rightarrow dpcm\)
gọi 3 số lần lượt là (a-1) ; a và (a+1) ta có
(a-1)3 + a + (a+1)3 = (a3 -3a2 + 3a -1) + a3 + ( a3 + 3a2 + 3a + 1) = 3x3 +6x = 3a(a2 - 1) + 9a
có a-1 ; a ; a+1 là 3 số nguyên liên tiếp suy ra sẽ có 1 số chia hết cho 3 do đó 3a(a2 - 1) + 9a chia hết cho 9 hay tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9