Câu hỏi của nguyễn thị thu

Question

chứng minh $x^2+x+1$ với x là số nguyên dương không thể là số chính phương

Trần Thanh Phương · Accepted Answer

Vì x dương $\Rightarrow x^2+x+1>x^2$và $x^2+x+1< x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2$ $\Rightarrow x^2< x^2+x+1< \left(x+1\right)^2$ Vì $x^2+x+1$nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp $\Rightarrow x^2+x+1$không là số chính phươngCâu trả lời: Vì x dương $\Rightarrow x^2+x+1>x^2$và $x^2+x+1< x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2$ $\Rightarrow x^2< x^2+x+1< \left(x+1\right)^2$ Vì $x^2+x+1$nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp $\Rightarrow x^2+x+1$không là số chính phương

Boul · Answer

Giả sử $x^2+x+1$ là số chính phương với x thuộc N*

Đặt $x^2+x+1=k^2$(k thuộc N* vì n thuộc N* )

$\Rightarrow4x^2+4x+4=4k^2$

$\Rightarrow\left(2x+1\right)^2+3=4k^2$

$\Rightarrow3=\left(2k\right)^2-\left(2x+1\right)^2=\left(2k-2x-1\right).\left(2k+2x+1\right)$

Vì x là số nguyên dương $\Rightarrow\left(2k-2x-1\right).\left(2k+2x+1\right)\in U\left(3\right)=\left\{\pm1,\pm3\right\}$

Vì k và n thuộc N* nên 2k+2x+1 thuộc {1,3}

$\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2k+2x+1=3\2k-2x-1=3\end{matrix}\right.\\left\{{}\begin{matrix}2k+2x+1=1\2k-2x-1=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=\frac{6}{4}\left(KTM\right)\k=\frac{1}{2}\left(KTM\right)\end{matrix}\right.$

=> điều giả sử sai

Vậy...Câu trả lời: Giả sử $x^2+x+1$ là số chính phương với x thuộc N*