Question

cho x,y >0 với x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức

A=\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

Answer 1

. P= x^2 +1/ x^2+ 2 +y^2+ 1/y^2 +2 (*) áp dụng bđt cosi cho các số dương x^2; y^2 và 1/x^2 và 1/y^2 được x^2+y^2 >= 2xy (1) và 1/X^2 +1/y^2 >=2/xy (2) thay vào (*) P >= 4+2xy+2/(xy) (**) Do x,y>0 áp dụng bđt cosi cho 2 số dương 2xy và 2/ (xy) ta được 2xy+2/(xy)>=2 căn (2xy . 2/(xy))=2 (3) thay trở lại (**) được P>= 4+2=6 Dấu bằng sảy ra khi dấu bằng ở (1)(2)(3) cùng đồng thời sảy ra tức là (1) x=y; (2) 1/x=1/y ;(3) xy=1/(xy) => x=y Vậy GTNN của biểu thức là 6 sảy ra khi x=y

Answer 2

Áp dụng BĐt bunyakovsky:

\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

áp dụng BĐT cauchy dạng phân thức:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}=4\)

do đó \(A\ge\dfrac{1}{2}\left(1+4\right)^2=\dfrac{25}{2}\)

dấu = xảy ra khi x=y=0,5