Question

Cho x, y, z thỏa mãn 3x + y + 2z = 1. Tìm GTLN và GTNN của P = x² + y² + z²

Answer 1

Lời giải:

Biểu thức $P$ chỉ có min chứ không có max bạn nhé.

Nếu tìm min thì ta làm như sau:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:

$x^2+(\frac{3}{14})^2\geq 2\sqrt{x^2.(\frac{3}{14})^2}=\frac{3}{7}|x|\geq \frac{3}{7}x$

$y^2+(\frac{1}{14})^2\geq \frac{1}{7}|y|\geq \frac{1}{7}y$

$z^2+(\frac{1}{7})^2\geq \frac{2}{7}|z|\geq \frac{2}{7}z$

Cộng theo vế và thu gọn ta thu được:

$P+\frac{1}{14}\geq \frac{1}{7}(3x+y+2z)=\frac{1}{7}$

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{14}$

Vậy $P_{\min}=\frac{1}{14}$

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{1}{7})$

Tại sao lại ra những con số như trên, bạn tham khảo thêm phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT AM-GM.